Beweis,dass die komplexen Zahl < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:07 Mo 15.11.2010 | | Autor: | eysa38 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,also die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie,dass [mm] \IC [/mm] ein Körper ist.
So,hier ist mein Vorschlag,aber ich bin sehr unsicher,ob man das so machen kann und so hab ich ja auch viele Lücken.Ich bedanke mich schonmal im Voraus für eure Antworten:)
Meine Lösung:
zu zeigen: Körper:
1) ( [mm] \IC,+,*)ein [/mm] kommutativer Ring
2) ( [mm] \IC \backslash \{0\},*)ist [/mm] eine Gruppe,wobei 0 das neutrale Element von (K,+) ist
1)(i) ( [mm] \IC [/mm] ,+) ist eine abelsche Gruppe:
[mm] -\forall [/mm] x,y [mm] \in \IC [/mm] : x+y [mm] \in \IC
[/mm]
also:(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2)
[mm] -\forall [/mm] x,y,z [mm] \in \IC [/mm] : (x+y)+z=x+(y+z)
also:???
- [mm] \exists [/mm] e [mm] \in \IC:\forall x\in \IC: [/mm] e+x=x+e=x
also:(0,0) ist das Nullelement,d.h.das neutrale Element.(reicht das aus ?)
[mm] -\forall [/mm] x [mm] \in \IC \exists [/mm] y [mm] \in \IC: [/mm] y+x=x+y=e
also: -x ist die Inverse.(reicht das aus ?)
[mm] -\forall [/mm] x,y [mm] \in \IC [/mm] : x+y=y+x
also: x+y = (x1+y1,x2+y2) und (y1+x2,y2+x2) = y+x
[mm] (ii)(\IC,*) [/mm] ist eine Halbgruppe:
[mm] -\forall [/mm] x,y,z [mm] \in \IC [/mm] : (x*y)*z=x*(y*z)
also:???
[mm] -\forall [/mm] x,y [mm] \in \IC [/mm] : x*y=y*x
also:(x1,x2)*(y1,y2)=(x1*y1-x2*y2,x1*y2+y1*x2)
und (y1,y2)*(x1,x2)=(y1*x1-y2*x2,y1*x2+x1*y2)
(iii)Distributivgesetz:
[mm] \forall [/mm] x,y,z [mm] \in \IC: [/mm] x*(y+z)=x*y+x*z
also:???
2) ( [mm] \IC \backslash \{0\},*)ist [/mm] eine Gruppe
[mm] -\forall [/mm] x,y [mm] \in \IC [/mm] : x*y [mm] \in \IC
[/mm]
also:(x1,x2)*(y1,y2)=(x1*y1-x2*y2,x1*y2+y1*x2) laut Def.
[mm] -\forall [/mm] x,y,z [mm] \in \IC [/mm] : (x*y)*z=x*(y*z)
also:???
- [mm] \exists [/mm] e [mm] \in \IC:\forall x\in \IC: [/mm] e*x=x*e=x
also:(1,0) ist das Einselement,d.h.das neutrale Element.(reicht das aus ?)
[mm] -\forall [/mm] x [mm] \in \IC \exists [/mm] y [mm] \in \IC: [/mm] y*x=x*y=e
also:???
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> Hallo,also die Aufgabe lautet:
> Zeigen Sie,dass [mm]\IC[/mm] ein Körper ist.
>
> So,hier ist mein Vorschlag,aber ich bin sehr unsicher,ob
> man das so machen kann und so hab ich ja auch viele
> Lücken.Ich bedanke mich schonmal im Voraus für eure
> Antworten:)
>
> Meine Lösung:
> zu zeigen: Körper:
> 1) ( [mm]\IC,+,*)ein[/mm] kommutativer Ring
> 2) ( [mm]\IC \backslash \{0\},*)ist[/mm] eine Gruppe,wobei 0 das
> neutrale Element von (K,+) ist
Hallo,
es wäre ganz gut, würdest Du mal erstmal angeben, was bei Dir [mm] \IC [/mm] ist und wie die beiden Verknüpfungen definiert sind.
Es ist bei Euch offenbar [mm] \IC:= \IR\times\IR,
[/mm]
und nun müßte die Def. der Verknüpfungen folgen.
So wüßte der Leser gleich, worum es geht.
> 1)(i) ( [mm]\IC[/mm] ,+) ist eine abelsche Gruppe:
> [mm]-\forall[/mm] x,y [mm]\in \IC[/mm] : x+y [mm]\in \IC[/mm]
>
> also:
Seien [mm] x:=(x_1, x_2), y:=(y_1, y_2)\in \IC.
[/mm]
Es ist
x+y=
>(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2)
Und nun? Nun bin ich so schlau wie zuvor!
Du mußt doch jetzt noch glaubhaft machen (und hinschreiben!), daß [mm] (x_1+y_1,x_2+y_2) [/mm] ein Element von [mm] \IC [/mm] ist.
das war doch das Ziel der Bemühungen!
Zu zeigen:
> [mm]-\forall[/mm] x,y,z [mm]\in \IC[/mm] : (x+y)+z=x+(y+z)
> also:???
Ja. Jetzt mach mal. Seinen x:= ..., y:=..., z:=... [mm] \in \IC.
[/mm]
Es ist (x+y)+z= ... und es ist x+(y+z)=...,
also...
Zu zeigen:
> - [mm]\exists[/mm] e [mm]\in \IC:\forall x\in \IC:[/mm] e+x=x+e=x
> also:(0,0) ist das Nullelement,d.h.das neutrale
> Element.(reicht das aus ?)
Du mußt jetzt vorrechnen, daß das wirklich das neutrale Element bzgl + ist.
> [mm]-\forall[/mm] x [mm]\in \IC \exists[/mm] y [mm]\in \IC:[/mm] y+x=x+y=e
> also: -x ist die Inverse.(reicht das aus ?)
Nein. Sei [mm] x:=...\in \IC.
[/mm]
was meinst Du mit -x? -x:=.... Ist das wirklich in [mm] \IC?
[/mm]
Und dann mußt Du vorrechnen, daß das von Dir definierte Element wirklich das Inverse von x ist.
Zu zeigen
> [mm]-\forall[/mm] x,y [mm]\in \IC[/mm] : x+y=y+x
Es sei x:= ... , y:=...
Es ist
> also: x+y = (x1+y1,x2+y2) und (y1+x1,y2+x2) = y+x
Aha. Und weiter? Sind die jetzt gleich oder nicht, und wenn ja: weshalb?
Ich denke, Du machst nun erstmal bis hier und überarbeitest danach selbständig nochmal den Teil für die Multiplikation.
Gruß v. Angela
P.S.: beachte die Eingabehilfen für die Formeln unterhalb des Eingabefensters. Setze in Zukunft Indizes, es erleichtert die Lesbarkeit.
>
> [mm](ii)(\IC,*)[/mm] ist eine Halbgruppe:
> [mm]-\forall[/mm] x,y,z [mm]\in \IC[/mm] : (x*y)*z=x*(y*z)
> also:???
> [mm]-\forall[/mm] x,y [mm]\in \IC[/mm] : x*y=y*x
> also:(x1,x2)*(y1,y2)=(x1*y1-x2*y2,x1*y2+y1*x2)
> und (y1,y2)*(x1,x2)=(y1*x1-y2*x2,y1*x2+x1*y2)
>
> (iii)Distributivgesetz:
> [mm]\forall[/mm] x,y,z [mm]\in \IC:[/mm] x*(y+z)=x*y+x*z
> also:???
>
> 2) ( [mm]\IC \backslash \{0\},*)ist[/mm] eine Gruppe
> [mm]-\forall[/mm] x,y [mm]\in \IC[/mm] : x*y [mm]\in \IC[/mm]
>
> also:(x1,x2)*(y1,y2)=(x1*y1-x2*y2,x1*y2+y1*x2) laut Def.
> [mm]-\forall[/mm] x,y,z [mm]\in \IC[/mm] : (x*y)*z=x*(y*z)
> also:???
> - [mm]\exists[/mm] e [mm]\in \IC:\forall x\in \IC:[/mm] e*x=x*e=x
> also:(1,0) ist das Einselement,d.h.das neutrale
> Element.(reicht das aus ?)
> [mm]-\forall[/mm] x [mm]\in \IC \exists[/mm] y [mm]\in \IC:[/mm] y*x=x*y=e
> also:???
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