Beweis,daß "e" irrational ist < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:52 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Kryzefix |
Sei Sn := [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] 1/(k!) und e:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sn
(a)Bestimme durch Abschätzen des Reihenrestes eine Zahl N [mm] \in \IN [/mm] , für die Ie-sNI [mm] \le [/mm] 0,5*10^-4 gilt, und geben sie den Wert von sN an
b)Zeige,daß e irrational ist
Soweit zu der Aufgabenstellung.Ich glaube man muss hier mit einem Indirekten Beweis arbeiten,habe abre nicht wirklich eine Idee,wie ich zb. Teil a beginnen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo! Ich denke für (1) müsste man das so machen:
Also |lim [mm] s_{n} [/mm] - [mm] s_{N}|<=0,5*10^{-4} [/mm] für n --> unendlich.
Korregierte Version!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Kryzefix |
So ,nun habe ich für sn [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] 1/k! eingesetzt.
kann ich jetzt einfach mit Hilfe des Quotientenkriteriums den Grenzwert von sn errechnen und dann die gesammte Ungleichung nach sN auflösen?Wie komme ich dann auf N?
PS.Sorry für das ständige nachbohren,aber ich steh irgendwie völlig auf dem Schlauch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Antiprofi |
Der Ansatz müsste jetzt stimmen, hatte mich vorher verschrieben, sorry!
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:08 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Kryzefix |
So ,nun habe ich für sn [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] 1/k! eingesetzt.
kann ich jetzt einfach mit Hilfe des Quotientenkriteriums den Grenzwert von sn errechnen und dann die gesammte Ungleichung nach sN auflösen?Wie komme ich dann auf N?
PS.Sorry für das ständige nachbohren,aber ich steh irgendwie völlig auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Do 25.11.2004 | | Autor: | maria |
Augabe b)
Also ich habe folgendes in einem Buch gelesen:
Angenommen e wäre rational, also von der Form e=p/n mit [mm] p,n\in\IN. [/mm] Dann folgt
0<(p/n)- [mm] \summe_{k=0}^{n}(1/k!)= \summe_{k=n+1}^{\infty}(1/k!)=(1/(n+1)!)(1+(1+(n/2))+(1/((n+2)(n+3)))+...)<(1/(n+1)!)(1+(1/2)+(1/(2^2))+...)=2/((n+1)!).
[/mm]
Multiplikation mit n! liefert
[mm] 0<\underbrace{p(n-1)!-\summe_{k=0}^{n}((n!)/(k!))}_{=\in\IZ}<(2n!)/(n+1)!=2/(n+1)\le [/mm] 1
und das ist ein Widerspruch! Also kann e nicht rational sein.
Diesen Lösungsweg kann ich aber noch nicht nachvollziehen . Wenn jemand Lust und Zeit hat, dann würde ich mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Gedankengänge erklärt.
Aufgabe a)
[mm] |e-sN|\le 0,5*10^{-4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow sN\ge2,718231828
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für N=7
[mm] \Rightarrow [/mm] sN=2,718253968
Ich habe mir die Reihe einfach mal aufgeschrieben für k=1,2,3,.... und die Lösung einfach abgelesen. Ob das reicht oder ob man das noch beweisen muss, weiß ich nicht so genau.
Gruß! Maria
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Bei uns stand folgender Hinweis dabei:
Zeigen Sie, dass für [mm] n\ge2 [/mm] die Ungleichung
[mm] n!*\summe_{k=n+1}{\infty}\bruch{1}{k!}\le\bruch{1}{2}
[/mm]
gilt.
Das ähnelt glaube ich dem, was du aus dem Buch herausgeschrieben hast.
mfg
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