Beweis der Differenzierbarkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Di 25.04.2006 | | Autor: | F22 |
| Aufgabe | Die Funktion [mm]f:\IR \rightarrow \IR [/mm] sei definiert durch:
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
0, & x \le 0 \\
x^2, & x \ge 0
\end{matrix}\right. [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm]f[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig differenzierbar ist. Bestimmen sie [mm]f'[/mm] und zeigen sie, dass [mm]f[/mm] nicht zweimal differenzierbar auf ganz [mm]\IR[/mm] ist. |
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Hallo,
mein Problem bei der Aufgabe ist, dass diese Funktion durch diese Fallunterscheidung definiert ist. Somit weis ich nicht, wie ich hier rangehen muss. Wäre es eine einfache Funktion ala [mm]f(x)=x^2[/mm] wäre das Lösun kein Problem.
Kann mir jemand Helfen?
Vielen Dank!
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Hallo F22!
Die fallweise Funktionsdefinition gibt Dir ja sofort die einzige kritische (und damit zu untersuchende) Stelle [mm] $x_0$ [/mm] an: die Nahtstelle bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
An allen anderen Stellen wird die Funktion durch unendlich oft differenzierbare Teilfunktionen definiert (allerdings musst Du Dich hier noch "entscheiden" zu welchem Ast der Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ gehören soll).
Für die Stetigkeit musst Du nun also zeigen, dass rechtsseitiger Grenzwert, linksseitiger Grenzwert und der Funktionswert [mm] $f(x_0) [/mm] \ = \ f(0)$ übereinstimmen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ f(0) \ = \ 0$
Für die Differenzierbarkeit musst Du die Existenz des Differenzenquotienten (von rechts und von links angenähert) zeigen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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