Beweis der Folgerung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | x, y, w, z [mm] \in \IR
[/mm]
Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
1) x < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1/x > 0
2) x > y, x > 0, y > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1/x < 1/y
3)x > y, w [mm] \ge [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] x + w > y + z |
Hallo,
Man darf die neun Körperaxiome und die drei Anordnungaxiome benutzen.
Körperaxiome:
A1: a + b = b + a (Additive Kommutativität)
A2: a + (b + c) = (a + b) + c (Additive Assoziativität)
A3: Es gibt ein Element $ [mm] 0\in \IR [/mm] $ mit 0 + a = a (Existenz der Null)
A4: Zu jedem $ [mm] a\in \IR [/mm] $ existiert ein b [mm] \in \IR [/mm] mit a + b = 0 (Lösbarkeit der Gleichung a + b = 0, wobei b = -a ist)
A5: a * b = b * a (Multiplikative Kommutativität)
A6: a*(b*c) = (a*b)*c (Multiplikative Assoziativität)
A7: Es gibt ein Element [mm] 1\in \IR [/mm] mit 1*a=a (neutrales Element), und es ist $ [mm] 1\ne0. [/mm] $ (Existenz der Eins)
A8: Zu jedem $ [mm] x\in R\setminus\{0\} [/mm] $ existiert das multiplikative Inverse $ [mm] x^{-1} [/mm] $ mit $ [mm] x\cdot x^{-1}=1 [/mm] $ (Lösbarkeit der Gleichung x * [mm] x^{-1}, [/mm] wobei [mm] x^{-1} [/mm] = 1/x)
A9: a*(b+c) = a*b+a*c (Distributivität)
Anordnungaxiome:
B1: x < y, y < z [mm] \Rightarrow [/mm] x < z (Transitivität)
B2: x < y [mm] \Rightarrwo [/mm] x + z < y + z (Monotonie der Addition)
B3: x < y, 0 < a [mm] \Rightarrow [/mm] a * x < a * y (Monotonie der Multiplikation)
x * 0 = 0 und (-1)*x = -x sind bei mir schon auch bewiesen.
Jetzt zu den Aufgaben. Will nur wissen, ob die Beweise wirklich richtig sind. Der dritte ist der unsicherste. Also:
1) x > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x * 1/x > 0 * 1/x <= nach B3 (beide Seiten mal 1/x)
x * 1/x > 0 * 1/x [mm] \Rightarrow [/mm] 1/x > 0 * [mm] 1/x^{2} [/mm] <= nach B3 (wieder mal 1/x)
1/x > 0 * [mm] 1/x^{2} \Rightarrow [/mm] 1/x > 0 <= nach dem Beweis 0 * x = 0.
2) x > y [mm] \Rightarrow [/mm] x/y > 1 <= nach B3 (beide Seiten mal 1/y)
x/y > 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1/y > 1/x <= nach B3 (beide Seiten mal 1/x).
3) Betrachte w = z (da w [mm] \ge [/mm] z). Dann folgt nach B2: x > y [mm] \Rightarrow [/mm] x + w > y + z. Da w [mm] \g [/mm] z auch gilt, gilt die Gleichung x + w > y + z insbesondere. Damit ist die Aussage bewiesen.
Für jeden Beweis bekommet man 2 Punkte. Für die ersten zwei kann man velleicht noch 2 Punkte hoffen. Für den dritten würde ich wahrscheinlich kaum einen aus zwei möglichen Punkten bekommen, oder? Dies ist für mich nicht befriedigend. Man darf ja alle Körperaxiome, Anordnungsaxiome und die schon bewiesene Aussagen benuzen. In jedem Beweis wird aber jeweils nur ein Axiom benutzt. Irgendwie wenig, oder?
Um jede Idee, Bemerkung und Antwort bin ich sehr dankbar.
Schöne Grüße
kitamrofni
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) eine etwas anders geartete Argumentation erwartet.
