Beweis der Gleichheitsregel < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Definition: (x, y) := {{x}, {x, y}}
(x, y) = (u, v) [mm] \gdw [/mm] ((x = u) [mm] \wedge [/mm] (y = v)) |
Hi, erstmal hoffe ich das ich hier nicht ganz falsch bin, wenn doch möchte ich mich entschuldigen. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe obige Gleichung und soll beweisen das sie gilt. Allerdings habe ich absolut keinen Ansatz nur das eine Richtung des [mm] \gdw [/mm] trivial ist und die andere irgendwie mit Fallunterscheidungen gelöst werden kann.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 Mi 31.10.2007 | | Autor: | chrischna |
Ich glaub wir sitzen in der gleichen Vorlesung beim Knapp ;) right?!
Bin auch an der Aufgabe am scheitern, und in 8 std müssen wirs abgeben, shiiit! greetz chris
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> Definition: (x, y) := {{x}, {x, y}}
> (x, y) = (u, v) [mm]\gdw[/mm] ((x = u) [mm]\wedge[/mm] (y = v))
> Also ich habe obige Gleichung und soll beweisen das sie
> gilt. Allerdings habe ich absolut keinen Ansatz nur das
> eine Richtung des [mm]\gdw[/mm] trivial ist und die andere irgendwie
> mit Fallunterscheidungen gelöst werden kann.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Der wichtigste Tip, den ich für solche Aufgaben parat habe, ist: macht Dienst nach Vorschrift. Grübelt nicht lang drüber nach, ob ein Zahlenpaar eine Menge sein kann, sondern nehmt diese Definitionen wie einen Regenguß, der Euch überrascht und fangt einfach an. Beim Beweisen muß man immer streng nach Definition vorgehen, und das ist es, was man hieran üben kann und soll.
> Definition: (x, y) := {{x}, {x, y}}
Wir wissen nun also, wofür diese Zahlenpaare stehen.
Das ist so. Da gibt's nichts zu beweisen. Regenguß.
zu zeigen:
> (x, y) = (u, v) [mm]\gdw[/mm] ((x = u) [mm]\wedge[/mm] (y = v))
In Worten: die Zahlenpaare sind genau dann gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind.
Eine Aussage, die einen nicht so sonderlich überrascht.
Schauen wir zuerst die Rückrichtung an, welche wenig Überraschungen bietet und wenig Stoff, um seine Geisteskräfte zu erproben:
"<==" zu zeigen: gilt x=u und y=v so folgt (x, y) = (u, v) .
Bew.: es sei x=u und y=v .
Daher ist
(x, y):= {{x}, {x, y}} (nach Def.)
={{u}, {u, v}} (nach Vor.)
=(u,v). (nach Def.)
"==>" zu zeigen: (x, y) = (u, v) ==> (x=u und y=v)
Bew.:
Es sei (x, y) = (u, v).
Nach Def. ist dann
{{x}, {x, y}}={{u}, {u, v}}.
Was bedeutet es, wenn zwei Mengen gleich sind? Ihre Elemente stimmen überein.
Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:
Fall 1: es ist {x}={u} und {x, y}={u, v}
Hieraus muß man nun streng nach Def. seine Schlüsse ziehen.
Daß x=u ist, kann man schnell begründen, Bleibt noch y=v zu zeigen.
Laß Dir was einfallen.
Fall 2: es ist {x}={u,v} und {x, y}={u}
Es ist
{x}={u,v} ==> [mm] \{u,v\}\subseteq [/mm] {x} ==> u,v [mm] \in \{x\} [/mm] ==> ???,
und es ist
{x, y}={u} ==> .........
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Mi 31.10.2007 | | Autor: | infostudi |
@chrischna informatik und technische informatik find ich ja klasse, aber mathe wird mir den verstand kosten X-D
@angela.h.b.
Danke, leider hab ich es nicht mehr rechtzeitig gesehen, aber ich hatte eine eigene Lösung gefunden die hoffentlich ein paar Punkte gibt und mit deiner Erklärung verstehe ich es jetzt auch.
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