Beweis der Kettenregel < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mo 02.03.2009 | | Autor: | ggg |
Hallo zusammen,
ich habe ein Problem bei der Kettenregel. Ich finde in allen Lehrbüchern den Beweis nur für den injektiven Fall aber nicht für den surjektiven Fall. Ich habe mich auch kaputt gegoogelt, jedoch finde ich auch dort nichts. In Lehrbüchern wird geschrieben das der Beweis für die Kettenregel erheblich einfacher wird, wenn man f als injektiv voraussetzt, ansonsten könnte, wenn man mit
f( [mm] a_{n} [/mm] )-f(a) erweitert, f( [mm] a_{n} [/mm] ) = f(a) sein und man darf ja definitionsgemäß nicht durch Null teilen.
Ich würde mich wirklich freuen, wenn ihr mir einen Link dafür geben würdet oder vielleicht selbst den Beweis vorführt, was natürlich fantastisch wäre, oder mir einen Lehrbuch empfehlt, bei dem ich den Beweis nachschlagen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen,
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> ich habe ein Problem bei der Kettenregel. Ich finde in
> allen Lehrbüchern den Beweis nur für den injektiven Fall
> aber nicht für den surjektiven Fall.
Was meinst du mit dem "surjektiven Fall" ? Es sieht
so aus, als sähest du "injektiv" und "surjektiv" als
gegenteilige Fälle, was nicht stimmt !
> Ich habe mich auch
> kaputt gegoogelt, jedoch finde ich auch dort nichts. In
> Lehrbüchern wird geschrieben das der Beweis für die
> Kettenregel erheblich einfacher wird, wenn man f als
> injektiv voraussetzt, ansonsten könnte, wenn man mit
> f( [mm]a_{n}[/mm] )-f(a) erweitert, f( [mm]a_{n}[/mm] ) = f(a) sein und man
> darf ja definitionsgemäß nicht durch Null teilen.
Wenn ich es richtig sehe, meinst du hier mit f die
"innere" Funktion der Verkettung $\ F(x)\ =\ g(f(x))\ =\ [mm] (g\circ{f})\,(x)$
[/mm]
Ich denke, der kurze ![[]](/images/popup.gif) Beweis bei Wikipedia, bei dem
eine Hilfsfunktion [mm] D(z,z_0) [/mm] eingeführt wird, krankt nicht
am Nachteil, dass er für eine nicht injektive (aber
natürlich differenzierbare) innere Funktion versagen
würde.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Di 03.03.2009 | | Autor: | ggg |
Hmmm, ich glaube ich habee was falsch verstanden oder ich habe mich schlecht ausgedrückt. Ich dachte wenn etwas nicht injektiv ist, wäre es dann surjektiv oder biijektiv.
Außerdem ist (g [mm] \circ [/mm] f)' [mm] (x_{0}) [/mm] = g'(f( [mm] x_{0} [/mm] )) · f'( [mm] x_{0}).
[/mm]
Zum Beweis nutze man doch aus, das für alle für h > 0 gilt:
[mm] \bruch{g(f( x_{0}+ h))-g(f( x_{0} ))}{h} [/mm] = [mm] \bruch{g(f( x_{0}+ h))-g(f( x_{0} ))}{(f( x_{0}+ h))-(f( x_{0} ))} \* \bruch{(f( x_{0}+ h))-(f( x_{0} ))}{h } [/mm]
Daraus lässt sich dann der Beweis konstruieren. Jedoch wird schon davor mit f( [mm] x_{0}+ [/mm] h))-(f( [mm] x_{0} [/mm] )) erweitert, also mit dem differenzial, dabei kann es doch sein, das sich im Zähler eine Nullstelle ergeben könnte . Da man den Beweis für den injektiven Fall betrachtet, gilt: f( [mm] x_{0}+ h))\not=(f( x_{0} [/mm] )), sodass dieser Fall nicht auftreten kann. Was passiert jedoch wenn man den Beweis nicht injektiv betrachtet sodass geltet f( [mm] x_{0}+ [/mm] h))=(f( [mm] x_{0} [/mm] )). Wie würde dann der Beweis aussehen, also für einen nicht injektiven Fall. Al-Chwarizmi ich finde den Beweis denn du mir in Wikipedia gezeigt hast ist sehr gut. es sieht so aus als würde es mein Problem elegant umgehen. Aber ist das der wirkliche Beweis was schließlich auch den anderen Fall beweißt.
Oder bringe ich hier was durcheinander.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:59 Di 03.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hmmm, ich glaube ich habee was falsch verstanden oder ich
> habe mich schlecht ausgedrückt. Ich dachte wenn etwas
> nicht injektiv ist, wäre es dann surjektiv oder biijektiv.
das ist Unsinn. [mm] $f_1: \IR \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $f_1(x)=|x|$ [/mm] ist surjektiv, nicht aber injektiv. [mm] $f_2: \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_2(x)=|x|$ [/mm] ist weder injektiv noch surjektiv. [mm] $f_3: (-\infty,0] \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $f_3(x):=-x$ [/mm] ist sowohl injektiv als auch surjektiv, also bijektiv.
Die Bijektivität einer Funktion ist gleichbedeutend damit, dass die Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Wie soll also eine nicht injektive Funktion bijektiv sein?
Du solltest dringend nochmal alle diese Begriffe nachschlagen!
> Außerdem ist (g [mm]\circ[/mm] f)' [mm](x_{0})[/mm] = g'(f( [mm]x_{0}[/mm] )) · f'(
> [mm]x_{0}).[/mm]
>
> Zum Beweis nutze man doch aus, das für alle für h > 0
> gilt:
>
>
> [mm]\bruch{g(f( x_{0}+ h))-g(f( x_{0} ))}{h}[/mm] = [mm]\bruch{g(f( x_{0}+ h))-g(f( x_{0} ))}{(f( x_{0}+ h))-(f( x_{0} ))} \* \bruch{(f( x_{0}+ h))-(f( x_{0} ))}{h }[/mm]
>
>
>
> Daraus lässt sich dann der Beweis konstruieren. Jedoch wird
> schon davor mit f( [mm]x_{0}+[/mm] h))-(f( [mm]x_{0}[/mm] )) erweitert, also
> mit dem differenzial, dabei kann es doch sein, das sich im
> Zähler eine Nullstelle ergeben könnte .
Nullstellen im Zähler sind irrelevant, bei Nullstellen im Nenner wird's heikel.
Aber oben hatte doch Al extra auf den Beweis der Kettenregel in Wiki mit Hilfsfunktion D(z,z_0) verwiesen, denn dort wird diese Problematik umgangen. (Oder sie wird gut versteckt.  )
Ähnlich findest Du den Beweis der Kettenregel auch nochmal in diesem Analysis-Skript, Satz 13.7. Da Satz 13.6 (Zerlegungsformel) in den Beweis von Satz 13.7 Einzug erhält, solltest Du zunächst halt erst Satz 13.6 (ggf. auch den zugehörigen Beweis) 'verstehen'. Bei dem Beweis im Skript tritt die von Dir angesprochene Problematik 'im nichtinjektiven Falle' jedenfalls nicht auf.
Gruß,
Marcel
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