Beweis der Nullstellen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Di 04.09.2007 | | Autor: | mana |
| Aufgabe | | a) Begründen sie, dass eine ganzrat. Fkt. 3. Grades mindestens eine Nullstellen haben muss! b) Begründen sie, dass eine zum Ursprung symmetrische Fkt. eine ungerade Anzahl von Nullstellen hat. |
Hallo,
zu a) habe ich mir überlegt, dass eine fkt. 3. Grades von unten links nach oben rechts verläuft. also muss ihr Graf mindestens einmal die x-Achse schneiden
zu b) da die Fkt. punktsymmetrisch ist, muss sie entweder 1 oder 3 mal (usw) die x Achse schneiden.
Ich bräuchte aber mal eure HIlfe, ob das so richtig ist und wie man das richtig mathematisch formuliert, für einen 12 Klässler, der Grundkurs mathe hat. Danke im Voraus
Mana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Di 04.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a)
Ist leider noch etwas schwammig, da nich jede Funktion 3. Grades von unten links nach oben rechts verlaufen muss.
b)
ist leider auch noch nicht ganz ausgereift. Dass es 1, 3, 5, 7, ... Nullstellen gibt sollst du ja begründen!
Aber kein Problem, ich stell mal meine Variante vor, die vielleicht auch nicht perfekt ist.
a)
Wenn man den Grenzwert der Funktion 3. Grades f(x)=ax³+bx²+cx+d gegen [mm] \pm \infty [/mm] betrachtet, dann geht die Funktion für [mm] x->\infty [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] und für [mm] x->-\infty [/mm] gegen [mm] -\infty [/mm] (WENN a>0, ansonsten andersrum). Fakt ist also, dass eine Seite der Funktion "unendlich weit nach oben" und die andere Seite "unendlich weit nach unten" geht, und dabei die x-Achse einmal geschnitten werden muss.
(Ja, es geht vielleicht besser, aber naja :) ist spät)
b)
Wenn die Funktion zum Ursprung symmetrisch ist, ist schon mal eine Nullstelle im Ursprung vorhanden. Und wenn die Funktion eine weitere Nullstelle z.B. im positiven Bereich hat (z.B. bei 3), dann muss sie durch die Punktsymmetrie um O auch eine im negativen bereich (bei -3) haben.
Also es gibt eine Nullstelle in der Mitte sozusagen und dann können immer nur noch Nullstellen im Doppelpack dazukommen ;) 1;3;5;7... So sollte man das nicht schreiben, aber das könnte man als Grundidee nehmen
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Da der Teufel die schwarze Mathemagie beherrscht, war er mal wieder schneller als ich *lach*.
Zu a): siehe Antwort vom Teufel = du hattest von links oben nach rechts unten vergessen
Zu b): eine Nullstelle verläuft durch den Ursprung. Alle anderen Nullstellen können nur paarweise auftreten, nämlich bei X und Minus X. Somit ergibt sich immer eine ungerade Anzahl an Nullstellen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Mi 05.09.2007 | | Autor: | mana |
Vielen Dank an euch beiden, es war so spät gestern nacht, aber trotzdem habt ihr mir geholfen. Ich hatte schon 6std nachhilfe gegeben und konnte nihct mehr klar denken 
Danke
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