Beweis der Stammfunktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 So 24.09.2006 | | Autor: | Naginata |
| Aufgabe | | Beweise dass folgende Funktion [mm] F(x)=\bruch{x-sin²(x)*cos²(x)}{2} [/mm] eine Stammfunktion der Funktion [mm] f(x)=sin²(x) [/mm] ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe also die folgende Endableitung gebildet:
[mm] f(x)=\bruch{1+cos²(x)+sin²(x)}{2}
[/mm]
Ich wollte nun [mm] 1-cos²(x) [/mm] zu [mm] sin²(x) [/mm] zusammenfassen um dann
[mm] \bruch{2sin²(x)}{2} [/mm]
kürzen zu können. Nun habe ich aber das Problem dass das Vorzeichen nicht +, sondern - sein müsste. Habe ich falsch abgeleitet? Oder gibt es eine andere Lösung? Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 So 24.09.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo!
Vergiss diese Antwort!
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Hallo,
man bedient sich an dieser Stelle der partiellen Integration durch Rekursionsformeln. (Man kann aber die Stammfunktion auch ableiten!)
Ich führe dir mal die Integration vor:
Gesucht ist also [mm] \integral_{}^{}{sin^{2}(x) dx} [/mm] .
Setze sin(x)=u; cos(x)dx=du; sin(x)dx=dv; -cos(x)=v.
Dann folgt [mm] \integral_{}^{}{sin^{2}(x) dx}=-sin(x)*cos(x)+\integral_{}^{}{cos^{2}(x) dx}. [/mm]
Nach dem trigonometrischen Pythagoras entsteht hieraus
[mm] \integral_{}^{}{sin^{2}(x) dx}=-sin(x)*cos(x)+\integral_{}^{}{(1-sin^{2}(x)) dx}. [/mm]
Die Vereinigung des ursprünglichen und des Restintegrals auf der linken Seiten ergibt
[mm] 2*\integral_{}^{}{sin^{2}(x) dx}=-sin(x)*cos(x)+x
[/mm]
[mm] \Rightarrow\integral_{}^{}{sin^{2}(x) dx}=-\bruch{1}{2}sin(x)*cos(x)+\bruch{x}{2}.
[/mm]
Alles klar? Du kannst aber auch die Stammfunktion ableiten, dann müsstest du auf [mm] sin^{2}(x) [/mm] wieder kommen.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 So 24.09.2006 | | Autor: | Naginata |
Da ich noch keine Integration in der Schule hatte hilft mir das jetzt nicht wirklich weiter.. Trotzdem Danke für deine Mühe!! Leider komme ich in der Ableitung eben nicht auf das gewünschte Ergebnis. Habe ich wirklich keine Fehler in der BAleitung gemacht?
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Hallo,
beachte, dass deine Stammfunktion [mm] F(x)=-\bruch{1}{2}*sin(x)*cos(x)+\bruch{x}{2} [/mm] (**) und nicht wie fälschlicherweise von dir angegeben [mm] F(x)=-\bruch{1}{2}*sin^{2}(x)*cos^{2}(x)+\bruch{x}{2} [/mm] lautet.
Nach Anwendung der Prdoduktregel auf (**) müsstest du auf das hier kommen:
[mm] F'(x)=-\bruch{1}{2}(-sin^{2}(x)+cos^{2}(x))+\bruch{1}{2}.
[/mm]
Jetzt wendest du einen einfachen Trick an, nämlich den trigonometrischen Pythagoras [mm] sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1. [/mm] Das kannst du dir am Einheitskreis klarmachen! Für [mm] cos^{2}(x) [/mm] setzen wir nun [mm] 1-sin^{2}(x) [/mm] ein:
[mm] -\bruch{1}{2}(-sin^{2}(x)+cos^{2}(x))+\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}(-sin^{2}(x)+1-sin^{2}(x))+\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}(-2*sin^{2}(x)+1)+\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] =sin^{2}(x)-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] =sin^{2}(x)
[/mm]
Und damit bist du fertig!
Viele Grüße
Daniel
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