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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:08 Fr 02.12.2005 | | Autor: | cheesus |
| Aufgabe | Zeigen Sie durch Rückgriff auf die [mm] "$\varepsilon-\delta$"-Definition, [/mm] daß die durch
[mm] $f(x)=\bruch{x-1}{x^{2}+1}$
[/mm]
definierte Funktion $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] in [mm] $x_{0} [/mm] = -1$ stetig ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe ernsthafte probleme mit dieser aufgabe weil ich nicht weiß was ich mit der [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Definition Anfangen soll.
[mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Definition:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta(\varepsilon)>0 [/mm] : [mm] d(x,x_{0}) [/mm] < [mm] \delta(\varepsilon) \Rightarrow d'(f(x),f(x_{0})) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Ich bin nu nicht die größte leucht und weiß echt nicht was ich damit anfangen soll.
Hoffentlich könnt ihr mir helfen
MfG cheesus
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Guten Morgen,
Statt [mm] d(x,x_{0}) [/mm] würde ich beim Rechnen Beträge schreiben, das wird anschaulicher. Also sieht es dann so aus:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] : [mm] |x-x_{0}|<\delta =>|f(x)-f(x_{0}|< \varepsilon
[/mm]
Nach Einsetzen des Punktes, in dem Du Stetigkeit prüfen sollst folgt:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] : [mm] |x+1|<\delta [/mm] =>| [mm] \bruch{x-1}{x^{2}+1}+1|< \varepsilon
[/mm]
Jetzt musst Du ein [mm] \delta [/mm] so wählen, dass die Folgerung stimmt. [mm] \delta [/mm] hängt von [mm] \varepsilon [/mm] ab. Hier musst Du jetzt ein bisschen gucken und rechnen.
Gruß
Alex
edit: habe mal überlegt, bin mir aber nicht sicher, ob es stimmt, da wir das Zeug auch gerade erst machen :)
Also: falls x [mm] \ge \bruch{x-1}{x^{2}+1} [/mm] wähle [mm] \delta=\varepsilon, [/mm] denn dann stimmt die Folgerung immer. |x+1|< [mm] \varepsilon [/mm] und x [mm] \ge \bruch{x-1}{x^{2}+1} [/mm] muss auch [mm] |\bruch{x-1}{x^{2}+1}+1|< \varepsilon [/mm] sein. Beim anderen Fall bin ich mir noch weniger sicher, also lasse ich hin gleich aus :)
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