Beweis der injektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Halli hallo,
ich hätte mal eine Frage und hoffe dass Ihr mir helfen könnt. Das wäre total super!
Ich soll beweisen, dass:
f: X -> Y
f ist genau dann injektiv, wenn es ein h: Y->X gibt, so dass h o f = id(X)
Nun muss ich ja beide Seiten beweisen, nur Frage ich mich wie genau ich dies beweisen kann:
wenn h:Y->X existiert, dann ist h o f = X->Y->X = id(X)
damit nun wieder die ursprüngliche Menge X rauskommt, brauche ich eine Abbildung die vorher höchstens einem X ein Y zugewiesen hat , also f muss injektiv sein.
Stimmt das??? oder wenn nicht, könnt ihr mir bitte weiterhelfen wie ich dies beweise
Dank schonmal im voraus,
Euer Willy
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> Ich soll beweisen, dass:
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> f: X -> Y
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> f ist genau dann injektiv, wenn es ein h: Y->X gibt, so
> dass h o f = id(X)
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> Nun muss ich ja beide Seiten beweisen, nur Frage ich mich
> wie genau ich dies beweisen kann:
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> wenn h:Y->X existiert, dann ist h o f = X->Y->X = id(X)
> damit nun wieder die ursprüngliche Menge X rauskommt,
> brauche ich eine Abbildung die vorher höchstens einem X ein
> Y zugewiesen hat , also f muss injektiv sein.
>
> Stimmt das???
Hallo,
Ich meine, in Deinen Überlegungen für "<==" stecken die richtigen Gedanken drin, doch in der Korrektur wird es so wenig Gnade finden. Es muß durchsichtiger notiert werden.
"<=="
Seien f: X [mm] \to [/mm] Y und h: Y [mm] \to [/mm] X so, daß h [mm] \circ f=id_X [/mm] .
[Das sind die Voraussetzungen.]
Seien [mm] x_1, x_2 \in [/mm] X mit [mm] f(x_1)=f(x_2)
[/mm]
[Hier habe ich den Nachweis der Injektivität vorbereitet, um gleich dieselbige messerscharf zu folgern. Aufgepaßt:]
==> [mm] \underbrace{h( f(x_1))}_{=x_1}=\underbrace{h(f(x_2))}_{=x_2}
[/mm]
==> [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Also ist f injektiv.
"==>"
Hier ist die Injektivität Voraussetzung und die wesentliche Aufgabe ist die, eine Funktion h zu basteln, welche es tut.
Ich würde mir erstmal ein Bild malen. Die Menge X mit zwei bis drei Elementen, die Menge Y mit ein, zwei Elementen mehr, Pfeile von X nach Y für die Funktion f. Dann hinten nochmal die Menge X. Nun überleg, wie Du die h-Pfeile organisieren und die Funktion h definieren mußt, um die Identität zu kriegen. Zum Schluß schön aufschreiben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Di 25.10.2005 | | Autor: | willymathe |
Hallo Angela,
vielen vielen Dank für deine Lösung!
Hab soweit alles verstanden, fands vorher nur schwer die Argumente wirklich zu beweisen.
Bis bald,
willy
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