Beweis des Homomorpiphiesatzes < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Do 29.03.2007 | | Autor: | Hoschi78 |
Ich habe mir den Beweis für den Homomorphiesatz im Bosch angeschaut und da hab ich so meine Probleme...
Also
Bosch nimmt zunächst an, dass ein solcher Homomorphismus [mm] \bar\varphi [/mm] existiert. Also nimmt er ein Element [mm] aN \in \bruch{G}{N} [/mm] (Zwischenfrage: Mit welchem Tex-Befehl bekomme ich hier die korrekte Darstellung?) und setzt dieses in [mm] \bar\varphi [/mm] ein. Da [mm] \pi [/mm] per Definition gerade diese Nebenklasse erzeugt (oder das Element a in eben diese Nebenklasse abbildet), kann er nun [mm] \pi (a) [/mm] anstelle von [mm] aN [/mm] schreiben. Unter der Annahme, dass [mm] \bar\varphi [/mm] existiert, muss das nun dasselbe sein wie [mm] \varphi (a) [/mm]. Soweit erstmal richtig verstanden?
Daraus folgt dann auch die Eindeutigkeit, das ist nachvollziehbar, da ein weiterer Homomorphismus dasgleiche Ergebnis liefern würde. Also wären die beiden dann identisch.
Und jetzt der Knackpunkt:
Jetzt will Bosch [mm] \bar\varphi [/mm] durch eben diese Gleichung ([mm] \bar\varphi (aN) = \varphi (a) [/mm]) definieren/erklären. (Wie auch immer das zu verstehen ist...). Dazu muss er zeigen, dass [mm] \varphi [/mm] unabhängig von der Wahl der Repräsentanten [mm] a \in aN [/mm] ist. Wie ist das zu versthen? Und wieso wählt er dann [mm] aN = bN [/mm], also zwei gleiche Nebenklassen. Die folgenden "Folgerungen" im Beweis sind einleuchtend, auch der Beweis das [mm] \varphi [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist. Wenn mit hier also jemand weiterhelfen könnte wäre ich sehr dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Do 29.03.2007 | | Autor: | comix |
Voraussetzung ist, dass N [mm] \subset [/mm] ker [mm] \phi. [/mm] (Dafür kann ich kein kleines phi!)
Im ersten Teil wird die Eindeutigkeit gezeigt, im zweiten Teil die Existenz. Am Anfang sagt er ja, "wenn [mm] \overline{\phi} [/mm] existiert".
Er definiert [mm] \overline{\phi} [/mm] mit Hilfe von [mm] \phi: [/mm]
[mm] \overline{\phi}: [/mm] G/N [mm] \to [/mm] G'
aN [mm] \mapsto \phi(a) [/mm] oder [mm] \overline{\phi} [/mm] (aN) := [mm] \phi [/mm] (a).
Nun gibt es ja i.a. auch noch andere Elemente in aN ausser a. Somit muss gezeigt werden, dass die Abbildung "wohldefiniert" ist. In diesem Fall muss gezeigt werden, dass für alle Elemente b [mm] \in [/mm] aN auch [mm] \phi [/mm] (b) immer den gleichen Wert ergibt, dann macht die obige Definition erst Sinn.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Do 29.03.2007 | | Autor: | Hoschi78 |
O.k. Jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank!
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