Beweis det(A*B)=det(A)*det(B) < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 05:22 Mo 12.12.2016 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | Beweisen Sie $det(A [mm] \cdot [/mm] B) = det(A) [mm] \cdot [/mm] det(B)$ für Matrizen $A, B [mm] \in \IR^{n \times n}$
[/mm]
Tipp: Sie dürfen annehmen, dass sich jede invertierbare Matrix $A [mm] \in \IR^{n \times n}$ [/mm] als Produkt von Matrizen vom Typ $S[i, j], 1 [mm] \le [/mm] i, j [mm] \le [/mm] n$ bzw $T [i, j, λ], 1 [mm] \le [/mm] i, j [mm] \le [/mm] n, λ [mm] \in \IR$ [/mm] schreiben lässt |
Hallo zusammen,
[mm] $\textbf{Skript:}$
[/mm]
Im Skript gibt es die folgenden Eigenschaften:
DET1. $det(id) = 1$
DET2. Falls $A$ zwei identische Zeilen hat, gilt $det(A) = 0$.
DET3. Die Determinante ist linear in jeder Zeile, d.h. die beiden folgenden Bedingungen sind erfüllt:
1. Angenommen es gibt ein $i [mm] \in \{1, . . ., n\}$ [/mm] , so dass $A(i) + B(i) = C(i)$ , während
$A(h) = B(h) = C(h)$ für alle $h [mm] \not= [/mm] i$. Dann gilt $det(A) + det(B) = det(C)$.
2. Angenommen es gibt ein $i [mm] \in \{ 1, . . . , n \}$ [/mm] und ein $z [mm] \in \IR$, [/mm] so dass $B(i) = z [mm] \cdot [/mm] A(i)$, während $B(h) = A(h)$ für alle $h [mm] \not= [/mm] i$. Dann gilt $det(B) = z [mm] \cdot [/mm] det(A)$.
DET4. Wenn $B$ aus $A$ durch Vertauschen von zwei Zeilen entsteht, gilt $det(B) = − det(A)$.
[mm] $\textbf{Beweis:}$
[/mm]
Da jede Matrix durch Zeilenoperationen aus der Einheitsmatrix $id$ entsteht, zeige ich die drei Fälle der Zeilenoperationen:
1. $A$ entsteht aus $id$ durch Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl $z$.
[mm] $\stackrel{DET1 und DET3}{\Rightarrow} [/mm] det(A)=z [mm] \cdot [/mm] det(id) = z
$A [mm] \cdot [/mm] B$ entsteht durch das Anwenden derselben Zeilenoperation auf $B$
[mm] $\stackrel{DET3}{\Rightarrow} [/mm] det(A [mm] \cdot [/mm] B) = z [mm] \cdot [/mm] det(B)$
Also gilt $det(A [mm] \cdot [/mm] B) = det(A) [mm] \cdot [/mm] det(B)$
2. $A$ entsteht aus $id$ durch Addieren vom Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
$det(A) = det(id) = 1$
$det(A [mm] \cdot [/mm] B) = det(B)$ Hier weiß ich nicht, wie ich es begründen soll, bin mir aber sicher, dass die Gleichung stimmt. Wie kann man es denn begründen?
Also gilt $det(A [mm] \cdot [/mm] B) = det(A) [mm] \cdot [/mm] det(B)$
3. $A$ entsteht aus $id$ durch Vertauschen von zwei Zeilen
[mm] $\stackrel{DET4}{\Rightarrow} [/mm] det(A) = -det(id) = -1$
$det(A [mm] \cdot [/mm] B) = -det(B)$
Also gilt $det(A [mm] \cdot [/mm] B) = det(A) [mm] \cdot [/mm] det(B)$
$q.e.d$
Kann mir bitte jemand sagen, ob mein Beweis richtig und vollständig ist?
Danke für jede Hilfe
Liebe Grüße Asg
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 14:02 Mo 12.12.2016 | | Autor: | asg |
Hallo nochmals ...
ich habe es gerade gemerkt, dass der Beweis nur für $A [mm] \cdot [/mm] B$ gilt, wenn $A$ eine Elementarmatrix ist :(
Ich stehe gerade auf dem Schlauch ...
Kann mir bitte jemand helfen, wie ich es für allgemeine Matrizen $A, B$ beweisen kann?
Danke vorab
Liebe Grüße
Asg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 Di 13.12.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Mo 12.12.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
