Beweis diffbarkeit in a < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Do 24.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Es sei f:I -> [mm] \IR [/mm] stetig auf dem offenen Intervall I und differenzierbar auf [mm] I\backslash\{a\} [/mm] (a [mm] \in [/mm] I) und es existiere c:= [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f'(x). Zeigen Sie: Dann ist f differenzierbar in a und es gilt f'(a) = c. |
Guten Abend,
habe Schwierigkeiten bei der Aufgabe. Die einzige Idee die ich dazu habe, ist den Mittelwertsatz zu verwenden. Allerdings habe ich keine Ahnung wie. Hat jemand einen Tipp für mich?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Do 24.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Mittelwertsatz hilft nicht, weil Du da Diffbarkeit brauchst.
Kurzer Ausflug:
Eine Definition von Diffbarkeit ist, daß f in a diffbar ist mit $f'(a)=c$, genau dann wenn
$f(a+h) = f(a)+ c*h + o(h)$
$o(h)$ ist Landau-Notation für einen Term mit der Eigenschaft [mm] $\frac{o(h)}{h}\to [/mm] 0$ für [mm] $h\to [/mm] 0$.
Deswegen ist's auch mit der üblichen Def äquivalent. Das oben umgeformt ergibt:
[mm] $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} [/mm] =c + [mm] \frac{o(h)}{h}$
[/mm]
Wenn Du jetzt auf beiden Seiten den Grenzwert nimmst, hast Du die übliche Def über den Differenzenquotient, weil
[mm] $\lim_{h\to 0} [/mm] c + [mm] \frac{o(h)}{h} [/mm] = c$
nach Definition von o(h).
Lange Rede kurzer Sinn:
Sei [mm] $d_h:=a+h$, [/mm] dann können wir den Differenzenquotient umschreiben:
[mm] $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}= \frac{f(d_h)-f(d_h-h)}{h} [/mm] = [mm] \frac{f(d_h + (-h)) - f(d_h)}{(-h)}$
[/mm]
und weil f in [mm] $d_h$ [/mm] diffbar ist, folgt
[mm] $\frac{f(d_h + (-h)) - f(d_h)}{(-h)} [/mm] = [mm] f'(d_h) [/mm] + [mm] \frac{o(h)}{h}$
[/mm]
Das Problem ist jetzt noch, daß [mm] $d_h$ [/mm] von h abhängt. Du mußt zeigen, daß die rechte Seite gegen c konvergiert.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei f:I -> [mm]\IR[/mm] stetig auf dem offenen Intervall I und
> differenzierbar auf [mm]I\backslash\{a\}[/mm] (a [mm]\in[/mm] I) und es
> existiere c:= [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] f'(x). Zeigen Sie:
> Dann ist f differenzierbar in a und es gilt f'(a) = c.
> Guten Abend,
>
> habe Schwierigkeiten bei der Aufgabe. Die einzige Idee die
> ich dazu habe, ist den Mittelwertsatz zu verwenden.
> Allerdings habe ich keine Ahnung wie. Hat jemand einen Tipp
> für mich?
die Idee ist schon okay. Du machst es in drei Schritten:
Du zeigst, dass die rechtssseitige Ableitung in [mm] $a\,$ [/mm] existiert, dann zeigst Du, dass die linksseitige in [mm] $a\,$ [/mm] existiert und schlussendlich, dass sie gleich sind.
Zum ersten Schritt:
Es gilt mit o.E. stets $x [mm] \in [/mm] I$ und $h > [mm] 0\,$ [/mm] so, dass [mm] $x+h,\;a+h \in [/mm] I$ liege
[mm] $$(\star)\;\;\;\lim_{0 < h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{0 < h \to 0}\lim\limits_{a< x \to a}\frac{ f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{0 < h \to 0}\lim\limits_{a< x \to a} f'(\xi_{x,h})\,,$$
[/mm]
wobei dort nach dem Mittelwertsatz (jeweils angewendet auf [mm] $f_{|[x,x+h]}$) [/mm] ein [mm] $\xi=\xi_{x,h}$ [/mm] mit $x < [mm] \xi_{x,h} [/mm] < x+h$ gewählt werden kann. Wegen [mm] $\lim_{0 < h \to 0}\lim\limits_{a< x \to a} \xi_{x,h} [/mm] = a$ und der Existenz des rechtsseitigen Limes von [mm] $f'\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $a\,$ [/mm] folgt dann, dass dieser auch die rechtsseitige Ableitung von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $a\,$ [/mm] ist, d.h. die rechtsseitige Ableitung von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $a\,$ [/mm] existiert und ist [mm] $=c\,.$ [/mm]
(Beachte, dass in [mm] $(\star)$ [/mm] das erste Gleichheitszeichen der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $a\,$ [/mm] und $a+h$ bedarf!)
Analog machst Du das nun für die linksseitige Ableitung.
P.S.:
Alternativ kannst Du das auch mit de l'Hopital überlegen:
Setze [mm] $g(h)=g_a(h):=(f(a+h)-f(a))/h$ [/mm] für $0 < h < [mm] \epsilon$ [/mm] mit $0 < [mm] \epsilon$ [/mm] so, dass stets $a+h [mm] \in [/mm] I$ gilt. Die Frage, ob [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $a\,$ [/mm] rechtsseitig differenzierbar ist, ist dann gleichbedeutend mit der Frage, ob [mm] $\lim_{0 < h \to 0}g(h)$ [/mm] existiert. Nun existiert aber nach de l'Hospital
[mm] $$\lim_{0 < h \to 0} [/mm] (f(a+h)-f(a))/h$$
dann, wenn
[mm] $$\lim_{0 < h \to 0} \frac{\frac{d}{dh}f(a+h)}{\frac{d}{dh}h}$$
[/mm]
existiert. (Beachte [mm] $\frac{d}{dh}f(a)=0\,.$)
[/mm]
Nach Voraussetzung ist aber [mm] $\lim_{0 < h \to 0}f'(a+h)=c$ [/mm] und damit die rechtsseitige Ableitung von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $a\,$ [/mm] auch gerade [mm] $=c\,.$
[/mm]
P.S.:
Auch hierbei kommt die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $a\,$ [/mm] zum tragen, denn bei [mm] $\lim_{0 < h \to 0} [/mm] (f(a+h)-f(a))/h$ erhält man nur dann einen Ausdruck der Form [mm] "$0/0\,,$" [/mm] wenn auch $f(a+h)-f(a) [mm] \to [/mm] 0$ geht bei $0 < h [mm] \to 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Fr 25.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Die iterierten Grenzwerte von Marcel braucht man nicht.
Wir wählen h>0 so, dass a+h, a-h [mm] \in [/mm] I. Der MWS liefert Punkte [mm] s_h \in [/mm] (a,a+h) und [mm] t_h \in [/mm] (a-h,a) mit:
(1) [mm] \bruch{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(s_h)
[/mm]
und
(2) [mm] \bruch{f(a-h)-f(a)}{-h}= \bruch{f(a)-f(a-h)}{h}=f'(t_h).
[/mm]
Aus (1), (2) und der Ex. des Grenzwertes $ [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f'(x)$ folgt dann die Beh.
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:29 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Die iterierten Grenzwerte von Marcel braucht man nicht.
>
> Wir wählen h>0 so, dass a+h, a-h [mm]\in[/mm] I. Der MWS liefert
> Punkte [mm]s_h \in[/mm] (a,a+h) und [mm]t_h \in[/mm] (a-h,a) mit:
>
> (1) [mm]\bruch{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(s_h)[/mm]
>
> und
>
> (2) [mm]\bruch{f(a-h)-f(a)}{-h}= \bruch{f(a)-f(a-h)}{h}=f'(t_h).[/mm]
>
> Aus (1), (2) und der Ex. des Grenzwertes
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} f'(x)[/mm] folgt dann die Beh.
Sehe ich das richtig, dass aus (1) und (2) folgt f ist in a differenzierbar? Und aus der Existenz von [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f'(x) folgt f'(a) = c? Falls ja, letzteres verstehe ich nicht. Weshalb folgt daraus das f'(a) = c?
LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hat sich erledigt ;) Vielen Dank an euch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:09 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Die iterierten Grenzwerte von Marcel braucht man nicht.
stimmt. Ich erinnere mich zwar, dass ich mir irgendwas dabei gedacht hatte, aber ich sehe keinen Grund mehr, warum ich das so gemacht habe. Vermutlich hatte ich einfach irgendwie etwas in der Voraussetzung an [mm] $f\,$ [/mm] hier in der Aufgabe anders in Erinnerung, als es tatsächlich formuliert ist. (Oder es war mal wieder so spät, dass ich verquert gedacht habe ^^)
Schlussendlich hat mein Weg zwar unnötige Zwischenschritte, läuft letztendlich aber dann doch auf das gleiche hinaus wie bei Dir.
Trotzdem vielen Dank für's aufmerksame Mitlesen und den Hinweis drauf, dass mein Beweis "unnötigen Balast" mit sich trägt. Schließlich sollte ein "eleganter" Beweis ja auch eine gewisse "Schlankheit" mit sich tragen. 
Beste Grüße,
Marcel
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