Beweis durch Additionstheoreme < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie unter Anwendung der Additionstheoreme der Winkelfunktionen:
[mm] \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2 * \cos(\bruch{\alpha+\beta}{2}) * \cos(\bruch{\alpha-\beta}{2})[/mm]
[mm] \cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2 * \sin(\bruch{\alpha+\beta}{2}) * \sin(\bruch{\alpha-\beta}{2})[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Diese Aufgabe lässt mich verzweifeln. Also bis jetzt habe ich immer mit folgender Idee angefangen:
[mm] \cos(\alpha) + \cos(\beta) = \cos(\bruch{\alpha}{2}+\bruch{\alpha}{2}) + \cos(\bruch{\beta}{2}+\bruch{\beta}{2})[/mm]
Nach Anwendung des 1. Additionstheorems erhalte ich etwas in der Art:
[mm]\cos^2(\bruch{\alpha}{2})-\sin^2(\bruch{\alpha}{2})+\cos^2(\bruch{\beta}{2})-\sin^2(\bruch{\beta}{2})[/mm]
Von dort aus habe ich versucht in verschiedene Wege weiter zu rechnen, aber leider war nichts wirklich von Erfolg gekrönt.
Ganz besonders schwer tuhe ich mich mit dem Ziel die beiden verschiedenen Winkel nachher im selben Argument zu haben.
Hat jemand von euch vielleicht einen Denkanstoß für mich, der mir weiterhelfen könnte?
Ist mein Grundansatz vieleicht absolut ungeschickt?
Ich danke schon mal für eure Antworten!
Kackfisch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Mi 21.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Zeigen sie unter Anwendung der Additionstheoreme der
> Winkelfunktionen:
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> [mm]\cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2 * \cos(\bruch{\alpha+\beta}{2}) * \cos(\bruch{\alpha-\beta}{2})[/mm]
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> [mm]\cos(\alpha) - \cos(\beta) = -2 * \sin(\bruch{\alpha+\beta}{2}) * \sin(\bruch{\alpha-\beta}{2})[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
Nutze die Tatsache, dass zwei Größen (hier alpha und beta) stets gleich weit von ihrem gemeinsamen Mittelwert (hier [mm] \bruch{\alpha + \beta}{2} [/mm] entfernt sind.
Es gilt [mm] \alpha=\bruch{\alpha + \beta}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\alpha - \beta}{2} [/mm] und
[mm] \beta=\bruch{\alpha + \beta}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\alpha - \beta}{2}
[/mm]
Wende auf dieses Ausdrücke die bekannen Additiontheoreme für den Kosinus an.
Gruß Abakus
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> Diese Aufgabe lässt mich verzweifeln. Also bis jetzt habe
> ich immer mit folgender Idee angefangen:
>
> [mm]\cos(\alpha) + \cos(\beta) = \cos(\bruch{\alpha}{2}+\bruch{\alpha}{2}) + \cos(\bruch{\beta}{2}+\bruch{\beta}{2})[/mm]
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> Nach Anwendung des 1. Additionstheorems erhalte ich etwas
> in der Art:
>
> [mm]\cos^2(\bruch{\alpha}{2})-\sin^2(\bruch{\alpha}{2})+\cos^2(\bruch{\beta}{2})-\sin^2(\bruch{\beta}{2})[/mm]
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> Von dort aus habe ich versucht in verschiedene Wege weiter
> zu rechnen, aber leider war nichts wirklich von Erfolg
> gekrönt.
> Ganz besonders schwer tuhe ich mich mit dem Ziel die
> beiden verschiedenen Winkel nachher im selben Argument zu
> haben.
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> Hat jemand von euch vielleicht einen Denkanstoß für mich,
> der mir weiterhelfen könnte?
> Ist mein Grundansatz vieleicht absolut ungeschickt?
> Ich danke schon mal für eure Antworten!
>
> Kackfisch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Do 22.10.2009 | | Autor: | Kackfisch |
@ Abakus:
Mit deinem Tipp war die Lösung kein Problem mehr!
Ich wäre aber wahrscheinlich von alleine nicht auf diesen guten Ansatz gekommen.
Vielen Dank an dieser Stelle!
Gruß Kackfisch
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