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| Aufgabe | Beweisen Sie durch ausmultipizieren von
[mm] (1+3+3^2+...+3^m)(3-1)
[/mm]
die Formel
[mm] 1+3+3^2+...+3^m=(3^{m+1}-1)/2
[/mm]
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Hallo an alle,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hantiere jetzt schon seit ner ganzen Weile mit der Aufgabe herum und hänge immer wieder von neuem..
Wir hatten die Aufgabe in einer Übung und das ist leider schon ne Weile her...
Die Lösung der Aufgabe sieht folgendermaßen aus:
[mm] (1+3+3^2+...+3^m)* [/mm] (3-1)
[mm] =3+3^2+3^3+3^{m+1} -(1+3+3^2+...+3^m) [/mm]
=3^(m+1)-1
[mm] (1+3+3^2+...+3^m)(3-1)= [/mm] 3^(m+1)-1 /: (3-1)
= [mm] 1+3+3^2+...+3^m=1/(3-1) [/mm] (3^(m+1)-1)
[mm] =1+3+3^2+...+3^m=(3^{m+1}-1)/ [/mm] 2
Bei dem ersten Teil hängt es leider schon...wie komme ich auf 3^(m+1)-1? Wenn ich
[mm] 3+3^2+3^3+3^{m+1} -(1+3+3^2+...+3^m) [/mm] habe dann bekomme ich [mm] -1+3^{m+1}+3^m [/mm] heraus oder nicht? Und wie gehts dann weiter?
Ich hoffe mir kann jemand einen Tipp geben
Danke im Voraus!
Gruß
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Hallo!
> Die Lösung der Aufgabe sieht folgendermaßen aus:
>
> [mm](1+3+3^2+...+3^m)*[/mm] (3-1)
> [mm]=3+3^2+3^3+3^{m+1} -(1+3+3^2+...+3^m)[/mm]
> =3^(m+1)-1
> Bei dem ersten Teil hängt es leider schon...wie komme ich
> auf 3^(m+1)-1? Wenn ich
> [mm]3+3^2+3^3+\red{...} + 3^{m+1} -(1+3+3^2+...+3^m)[/mm] habe dann bekomme ich
> [mm]-1+3^{m+1}+3^m[/mm] heraus oder nicht?
Nein, bekommst du nicht.
Ich denke, wir sind uns einig, dass
[mm] $(1+3+3^2+...+3^m)*(3-1) [/mm] = [mm] (\blue{3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{m} }+ 3^{m+1}) [/mm] - (1 + [mm] \blue{3 + 3^{2} + ... + 3^{m-1} + 3^{m}})$ [/mm]
ist. Und nun sieht man doch, dass die beiden Klammern fast dieselben Summanden haben - nur hat die erste Klammer eben den Summanden [mm] 3^{m+1}, [/mm] den die zweite Klammer nicht hat - und die zweite Klammer hat den Summanden 1, den die erste Klammern nicht hat. Und weil die zweite Klammer ein Subtrahend ist, ist es eben -1, also:
[mm] $(1+3+3^2+...+3^m)*(3-1) [/mm] = [mm] (\blue{3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{m} }+ 3^{m+1}) [/mm] - (1 + [mm] \blue{3 + 3^{2} + ... + 3^{m-1} + 3^{m}}) [/mm] = [mm] 3^{m+1}-1$ [/mm]
> [mm](1+3+3^2+...+3^m)(3-1)=[/mm] 3^(m+1)-1 /: (3-1)
> = [mm]1+3+3^2+...+3^m=1/(3-1)[/mm] (3^(m+1)-1)
> [mm]=1+3+3^2+...+3^m=(3^{m+1}-1)/[/mm] 2
> Und wie gehts dann
> weiter?
Naja, dann geht man von der gerade erwirtschafteten Gleichung aus:
[mm] $(1+3+3^2+...+3^m)*(3-1) [/mm] = [mm] 3^{m+1}-1$
[/mm]
Und verwendet nun im Wesentlichen die Tatsache, dass (3-1) = 2 ist 
[mm] $\gdw (1+3+3^2+...+3^m)*2 [/mm] = [mm] 3^{m+1}-1$
[/mm]
[mm] $\gdw (1+3+3^2+...+3^m) [/mm] = [mm] \frac{3^{m+1}-1}{2}$
[/mm]
Voilá!
Grüße,
Stefan
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Vielen Dank,
ist sehr einleuchtend. Nur irgendwie kam ich nicht darauf...
Gruß
die ahnungslose85
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