Beweis durch Induktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Mo 16.03.2009 | | Autor: | ggg |
ich habe soeben mich bei einem Beweis herangewagt, aber ich bin mir nicht sicher ob ich ihn richtig gemacht worden ist.
Gegeben ist die Funktion [mm] \integral {f(ax+b)^{n} dx}=\bruch{1}{a(n+1)}\*F(ax+b)^{n+1}+C
[/mm]
Ich will beweisen das es hierfür beliebig viele Potenzen mit [mm] n\ge0 [/mm] gibst.
Induktionsanfang: n=1. Also [mm] \integral {f(ax+b)^{1} dx}=\bruch{1}{2a}\*F(ax+b)^{2}+C
[/mm]
Die Formel gilt für n=1.
Induktionsschritt [mm] n\to [/mm] n+1. Also dann [mm] \integral {f(ax+b)^{n+1} dx}=\bruch{1}{a(n+2)}\*F(ax+b)^{n+2}+C
[/mm]
Ich differenziere dann die Stammfunktion und zeige das
[mm] f(ax+b)^{n+1} [/mm] folgt
[mm] (\bruch{1}{a(n+2)}\*F(ax+b)^{n+2}+C)'=\bruch{a(n+2)}{a(n+2)}\*F'(ax+b)^{n+1}=F'(ax+b)^{n+1}=f(ax+b)^{n+1} [/mm] q.e.d
Ist mein Beweis durch Induktion so richtig
|
|
| |
|
Hallo ggg,
bevor Du irgend etwas zeigst, solltest Du definieren, was Deine Notation eigentlich besagt.
> [mm] \integral {f(ax+b)^{n} dx}=\bruch{1}{a(n+1)}*F(ax+b)^{n+1}+C
[/mm]
Was heißt denn [mm] f(ax+b)^n [/mm] ?
Streng genommen hieße das: [mm] (f(ax+b))^n
[/mm]
Dann aber wäre die zu zeigende Formel falsch. Untersuche z.B. [mm] \int{sin^n(ax+b)\ dx}
[/mm]
Falls das zu kompliziert ist, nimm einfach mal n=3 an.
Oder heißt [mm] f(ax+b)^n [/mm] etwa [mm] f\left((ax+b)^n\right) [/mm] ?
Auch dann wäre die zu zeigende Formel falsch. Untersuche z.B. [mm] \int{sin\left((ax+b)^n\right)\ dx}
[/mm]
Ich denke daher, dass Du nur folgendes zeigen willst:
[mm] \int{(ax+b)^n\ \dx}=\bruch{1}{a(n+1)}*(ax+b)^{n+1}+C
[/mm]
Dafür brauchst Du aber nur dann einen Induktionsbeweis, wenn Du die Formel über den Grenzwert des Differenzenquotienten beweisen willst.
Sonst würde ja die Potenzregel vollauf genügen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 16.03.2009 | | Autor: | ggg |
Die Formel $ [mm] \int{f(ax+b)^n)\ \dx}=\bruch{1}{a(n+1)}\cdot{}(F(ax+b)^{n+1})+C [/mm] $ kann ich ja beweisen wenn die Stammfunktion differenziere und damit zeige das das die Ableitungsfunktion entsprecht, die integriert wird.
Jedoch wie kann ich dann beweisen das [mm] (f(ax+b))^n [/mm]
für beliebig hohe Potenz geltet. Ich habe das mit vollständige Induktion versucht, das hat aber nicht geklappt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ggg!
Ich verstehe Dein Problem nicht ganz ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") !!
Da Du die o.g. Formel mittels Ableitung für beliebiges [mm] $n\in\IN$ [/mm] zeigen kannst (also ohne Einschränkung für jede natrüliche Zahl $n_$ ), ist die Induktion hier überflüssig und entbehrlich.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
