Beweis durch Vektorrechnung < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Do 30.08.2007 | | Autor: | Lommy |
| Aufgabe | Wenn es sich bei einem beliebigen Viereck um ein Parallelogramm handel, dann halbieren sich die Diagonalen.
Beweisen mit Hilfe der Vektorrechnung. |
Einen ähnlichen Satz ("Wenn in einem Viereck die Diagonalen einander halbieren, so ist es ein Parallelogramm. ") habe ich bereits ohne Probleme beweisen können. Nun sollen wir aber die Negativierung davon beweisen, was mir irgendwie nicht mehr ganz so leicht fallen will. Alle Ansätze dir mir einfallen, gehen bereits davn aus, das die Diagonalen halbiert werden und das ist ja nun nicht Sinn und Zweck der Sache. Irgendwelche Vorschläge, Tipps?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lommy!
> Wenn es sich bei einem beliebigen Viereck um ein
> Parallelogramm handel, dann halbieren sich die Diagonalen.
> Beweisen mit Hilfe der Vektorrechnung.
> Einen ähnlichen Satz ("Wenn in einem Viereck die Diagonalen
> einander halbieren, so ist es ein Parallelogramm. ") habe
> ich bereits ohne Probleme beweisen können. Nun sollen wir
> aber die Negativierung davon beweisen, was mir irgendwie
> nicht mehr ganz so leicht fallen will. Alle Ansätze dir mir
> einfallen, gehen bereits davn aus, das die Diagonalen
> halbiert werden und das ist ja nun nicht Sinn und Zweck der
> Sache. Irgendwelche Vorschläge, Tipps?
Das ist nicht die "Negativierung", sondern die zweite Richtung von der Äquivalenzaussage:
"ein Viereck ist ein Parallelogramm [mm] \gdw [/mm] in einem Viereck halbieren sich die Diagnoalen"
Die Richtung [mm] "\Leftarrow" [/mm] hast du bereits gezeigt, die Richtung [mm] "\Rightarrow" [/mm] musst du noch zeigen. Wie hast du denn die eine Richtung gezeigt? Ich vermute, dass du bei jeder Folgerung, die du machst, auch genau andersherum folgern könntest, den Beweis also von unten nach oben genauso führen könntest, und dann hättest du genau die andere Richtung. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Do 30.08.2007 | | Autor: | Lommy |
Nein, es einfach 'rückwärts' zu machen geht leider nicht, oder ich bekomme es einfach nicht hin.
Es ging darum, dass wir die 'Negativierung' des oben genannten Satzes nachweisen. Dafür gab mein Lehrer mir folgendes:
Vorraussetzung: Vektor AB = Vektor CD (vobei diese zwei gegenüberliegende Seiten des Parallelogramm sind. Die Diagonalen schneiden sich im Punkt M.)
Behauptung: Vektor DM = Vektor MB
Vektor AM = Vektor MC
Beim alten Beweis waren Vorraussetzung und Behauptung genau anders herum. Der Beweis war recht kurz und bündig:
Vektor AB = Vektor AM + Vektor MB
= Vektor MC + Vektor DM
= Vektor DC
q.e.d.
Andersrum will mir das aber einfach nicht einleuchten. Eigentlich müsste es recht simpel sein, aber irgendwo hackts bei mir... Oo
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Hallo,
das Parallelogramm wird ja von zwei Vektoren aufgespannt, die vierte Ecke erhält man durch Addition der beiden Vektoren.
Berechne nun den Schnittpunkt der Diagonalen, indem Du zunächst die Gleichungen der Geraden durch die gegenüberliegenden Eckpunkte aufstellst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Do 30.08.2007 | | Autor: | Lommy |
Ehrlich gesagt verstehe ich nicht so ganz, was du mir damit sagen willst. ^^°
Meinst du mit den beiden Vektoren die das P. aufspannen sollen die Diagonalen? Und was für eine vierte Ecke?
Ich habe bereits alle vier Ecken A,B,C und D sowie die Graden zwischen ihnen, die das P. bilden. Die Diagonalen habe ich nicht, ich weiss nur das sie sich in einem Punkt M schneiden und von diesem halbiert werden müssen. Diesen Schnittpunkt soll ich nicht berechnen, da ich keine Werte habe, kann ich das auch gar nicht wirklich.
Ich soll nur beweisen, das in jedem beliebigen P. die Diagonalen einander in diesem Punkt schneiden und halbieren. Dazu muss ich ja eigentlich nur zeigen, dass der Vektor AM und der Vektor MC (bzw. Vektor DM und Vektor MB) gleich groß sind und das mit Hilfe der Vektoren die das P. bilden.
Ich bin in der Vektorrechnung noch ganz am Anfang also kann die Lösung ja auch gar nichts großartig schweres sein (grade mal 6 Stunden Vektorrechnung bis jetzt).
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Hallo,
gut, nehmen wir Dein Parallelogramm ABCD (Punkte entgegen dem Uhrzeigersinn angeordnet.), und machen wir das ganze ohne Geradengleichungen. (Bzw.: wir nennen es nicht "mit Geradengleichungen")
Mach Dir zunächst folgendes klar: [mm] \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.
[/mm]
Den Schnittpunkt der Diagonalen bezeichnen wir mit M.
Nun überlegen wir, wie wir den Weg von A nach S beschreiben können:
1. Von A nach B und dann ein Stuckchen in Richtung des Weges von B nach D.
In Vektoren ausgedrückt [mm] \overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BD}.
[/mm]
Das k drückt aus, daß nicht der ganze Weg von B nach D zurückzulegen ist, sondern nur ein Stück.
Nun kannst Du Dir überlegen, daß man [mm] \overrightarrow{BD} [/mm] schreiben kann als [mm] \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.
[/mm]
(Man erhält einen Pfeil, der dieselbe Länge hat wie [mm] \overrightarrow{BD}, [/mm] und der in dieselbe Richtung weist.
Oben eingesetzt bekommt man: [mm] \overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+k(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})
[/mm]
2. Man kann aber auch einen anderen Weg wählen: von A nach B, von B nach c, und dann ein Stückchen zurück auf dem Weg von C nach A.
Also [mm] \overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+l\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+l\overrightarrow{CA}
[/mm]
Überleg Dir, daß [mm] \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}
[/mm]
und setze dies in
[mm] \overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+l\overrightarrow{CA} [/mm] ein.
Nun hast Du zwei Darstellungen von von [mm] \overrightarrow{AS}, [/mm] welche Du gleichsetzn kannst.
Auf beiden Seiten der Gleichung kommen nur noch die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB}und \overrightarrow{AD} [/mm] vor.
Nun sortiere so, daß auf der einen Seite alle Vektoren in Richtung [mm] \overrightarrow{AB}stehen [/mm] und auf der anderen Seite die in Richtung [mm] \overrightarrow{AD}. [/mm]
Klammere nun aus, so daß Du [mm] (...)\overrightarrow{AB}=(???)\overrightarrow{AD} [/mm] dastehen hast, und überlege Dir, wie groß (...) und (???) sein müssen, damit die Gleichung stimmt. (Die beiden Vektoren zeigen ja in verschiedene Richtungen, also auch ihre Vielfachen).
Zum Schluß hältst Du k und l in den Händen. Und mußt über deren Bedeutung nachdenken. Aber die war eingangs ja erklärt.
Nun hoffe ich nur, daß ich keine verwirrenden Tippfehler eingebaut habe...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Do 30.08.2007 | | Autor: | Lommy |
Nur einen kleinen Fehler, du hast M doch wieder als S bezeichnet. ^_~
Auf alle Fälle hab ich es jetzt verstanden, danke für die Hilfe und Mühe! ^-^/
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