Beweis durch vollständige Indu < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, habe meine erste Analysis I Vorlesung hinter mich gebracht und soll nun einen Übungsblatt barbeiten. Ich komme aber irgendwie überhaupt nicht weiter.
Vielleicht kann mir ja jemand bei den folgenden Aufgaben helfen. Wäre echt super nett.
Aufgabe 1:
Man beweise: [mm] \summe_{k=0}^{m}\vektor{n\\2k}=2^{n-1} [/mm] für n=1,2,3,... . Dabei ist m=n/2 für gerades n, m=(n-1)/2 für ungerades n.
Aufgabe 2:
Man beweise: [mm] \summe_{k=1}^{n}k^{3} [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{n}k)^{2} [/mm] für alle natürlichen Zahlen n.
Aufgabe 3: Für [mm] 1^{2}+3^{2}+...+(2n-1)^{2} [/mm] gebe man einen geschlossenen Ausdruck an (mit Beweis).
Vielen Dank schonmal !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Hallo, habe meine erste Analysis I Vorlesung hinter mich
> gebracht und soll nun einen Übungsblatt barbeiten. Ich
> komme aber irgendwie überhaupt nicht weiter.
> Vielleicht kann mir ja jemand bei den folgenden Aufgaben
> helfen. Wäre echt super nett.
Hallo,
alle drei Aufgaben schreien nach vollständiger Induktion. Klar, oder?
Zumindest bei Aufgabe 1 und 2 kannst Du wirklich schonmal anfangen.
Erst n=1 und dann den Schluß n [mm] \to [/mm] n+1.
>
> Aufgabe 1:
> Man beweise: [mm]\summe_{k=0}^{m}\vektor{n\\2k}=2^{n-1}[/mm] für
> n=1,2,3,... . Dabei ist m=n/2 für gerades n, m=(n-1)/2 für
> ungerades n.
Hier wirst Du ein bißchen was über Binominalkoeffizienten brauchen.
>
> Aufgabe 2:
> Man beweise: [mm]\summe_{k=1}^{n}k^{3}[/mm] =
> [mm](\summe_{k=1}^{n}k)^{2}[/mm] für alle natürlichen Zahlen n.
>
> Aufgabe 3: Für [mm]1^{2}+3^{2}+...+(2n-1)^{2}[/mm] gebe man einen
> geschlossenen Ausdruck an (mit Beweis).
Das ist ja [mm] \summe_{k=1}^{n}(2n-1)^2= \summe_{i=1}^{n}(4n^2-4n+1) [/mm] . [mm] \summe_{i=1}^{n}n^2 [/mm] hattet Ihr bestimmt schon, genau wie [mm] \summe_{i=1}^{n}n, [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n}1 [/mm] ist kein Hexenwerk. Die entsprechenden Ergebnisse addieren und "schön" umformen. So kommst Du zu Deunem geschlossenen Ausdruck.
Den wiederum mußt Du dann per Induktion beweisen.
Wenn Du dann an konkreten Stellen nicht mehr weiterkommst, kann Dir hier bestimmt geholfen werden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Welcher Beweis zulässig ist, hängt natürlich immer von den Vorkenntnissen ab. Aufgabe 1 könnte man etwa so lösen:
[mm]\frac{1}{2} \left( (1+1)^n + (1-1)^n \right)[/mm]
1. Berechne diesen Term direkt, d.h. so, wie es die Klammern anzeigen.
2. Berechne diesen Term durch Anwendung des Binomischen Lehrsatzes.
|
|
|
|
