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| Aufgabe | A, B und C seien Mengen. Zeigen Sie die folgenden Aussagen!
(a) (A \ B) [mm] \cap [/mm] C= (A [mm] \cap [/mm] C) \ (B [mm] \cap [/mm] C)
(b) A [mm] \subseteq [/mm] C und B [mm] \subseteq [/mm] C [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] C |
So ich habe zu beiden einen Lösungsweg zwar, aber ich zweifle an der Richtigkeit ... wäre nett wenn ihr mal drüber schaut und sagen könntet ob das klar geht =)
(a)
(A \ B) [mm] \cap [/mm] C
[mm] \gdw [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \not\in [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C
[mm] \gdw [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge \neg [/mm] (x [mm] \in [/mm] B)) [mm] \cap [/mm] (x [mm] \in [/mm] C)
[mm] \gdw [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge \neg [/mm] (x [mm] \in [/mm] B)) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] C)
[mm] \gdw [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] C)) [mm] \wedge \neg [/mm] ((x [mm] \in [/mm] B) [mm] \wegde [/mm] (x [mm] \in [/mm] C))
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)) [mm] \wegde \neg [/mm] (x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C))
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] C) \ (B [mm] \cap [/mm] C))
(b) hier bin ich mir nicht sicher ob ich wegen dem Äquivalenzzeichen beide Richtungen also [mm] \leftarrow und \rightarrow [/mm] zeigen muss, hier erstmal der [mm] \rightarrow
[/mm]
((x [mm] \in [/mm] A) [mm] \rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] C)) [mm] \wedge [/mm] ((x [mm] \in [/mm] B) [mm] \rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] C))
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A) [mm] \rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] C) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B) [mm] \rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] C)
[mm] \gdw [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B)) [mm] \rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] C)
[mm] \gdw [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] C
danke schonmal für eure bemühungen :)
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Du würfelst Logik- und Mengensymbole durcheinander.
Fang bei der ersten Aussage am besten rechts an.
Falls du ein paar mengenoperationen schon bewiesen hast (DeMorgan), dann
[mm]x\in (A\cap C \setminus (B\cap C))[/mm]
[mm]\gdw x\in (A\cap C \cap (B^C\cup C^C))[/mm]
sonst
[mm]x\in (A\cap C \setminus (B\cap C))[/mm]
[mm]\gdw x\in (A\cap C ) \wedge x\not\in (B\cap C))[/mm]
und jetzt aufdröseln...
beachte [mm] $C\cap C^C=\emptyset$
[/mm]
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der dozent hat extra gesagt wir sollen die mengenoperationen in logische operationen umwandeln von daher is das schon so gewollt das ich die da so umwandle nur ob die einzelnen schritte richtig sind ist die frage...
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Dann pflücke ich das einmal auseinander
> A, B und C seien Mengen. Zeigen Sie die folgenden
> Aussagen!
>
> (a) (A \ B) [mm]\cap[/mm] C= (A [mm]\cap[/mm] C) \ (B [mm]\cap[/mm] C)
> (b) A [mm]\subseteq[/mm] C und B [mm]\subseteq[/mm] C [mm]\gdw[/mm] A [mm]\cup[/mm] B
> [mm]\subseteq[/mm] C
> So ich habe zu beiden einen Lösungsweg zwar, aber ich
> zweifle an der Richtigkeit ... wäre nett wenn ihr mal
> drüber schaut und sagen könntet ob das klar geht =)
>
>
> (a)
> (A \ B) [mm]\cap[/mm] C
> [mm]\gdw[/mm] ((x [mm]\in[/mm] A) [mm]\red{\wedge}[/mm] (x [mm]\not\in[/mm] B) [mm]\red{\cap}[/mm] C
Was soll hier äquivalent sein? Das rote passt NICHT zusammen.
[mm]\blue{x\in }(A\setminus B)\cap C)\gdw x\in (A \setminus B) \wedge x\in C[/mm][mm]\gdw (x\in A \wedge x\not\in B) \wedge x\in C[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] ((x [mm]\in[/mm] A) [mm]\wedge \neg[/mm] (x [mm]\in[/mm] B)) [mm]\cap[/mm] (x [mm]\in[/mm] C)
Hier passen auch die Symbole nicht zusammen.
> [mm]\gdw[/mm] ((x [mm]\in[/mm] A) [mm]\wedge \neg[/mm] (x [mm]\in[/mm] B)) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] C)
Die Zeile stimmt mal.
> [mm]\gdw[/mm] ((x [mm]\in[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] C)) [mm]\wedge \neg[/mm] ((x [mm]\in[/mm] B) [mm]\blue{\wedge }[/mm](x [mm]\in[/mm] C))
hast du das Blaue vergessen vergessen
Noch einmal rückwärts
Es gilt [mm]x\in (A\cap C)\setminus (B\cap C)[/mm]
[mm]\gdw x\in (A\cap C) \wedge x\not\in (B\cap C)[/mm]
[mm]\gdw x\in A \wedge x\in C \wedge \neg (x\in (B\cap C))[/mm]
[mm]\gdw x\in A \wedge x\in C \wedge \neg (x\in B \wedge x\in C)[/mm]
[mm]\gdw x\in A \wedge x\in C \wedge (x\not\in B \vee x\not\in C)[/mm]
[mm]\gdw x\in A \wedge \left ( (x\in C \wedge x\not\in B) \vee (\green{x\in C \wedge x\not\in C}) \right )[/mm]
Der grüne teil ist immer falsch. Kannst du weglasssen:
[mm]\gdw x\in A \wedge \left ( (x\in C \wedge x\not\in B) \ \right )[/mm]
...
das wäre dann das was du brauchst.
>
> (b) hier bin ich mir nicht sicher ob ich wegen dem
> Äquivalenzzeichen beide Richtungen also [mm]\leftarrow und \rightarrow[/mm]
> zeigen muss, hier erstmal der [mm]\rightarrow[/mm]
> ((x [mm]\in[/mm] A) [mm]\rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] C)) [mm]\wedge[/mm] ((x [mm]\in[/mm] B)
> [mm]\rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] C))
Warum dieser komische Pfeil. Es ist doch [mm]x\in A\Rightarrow x\in C[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A) [mm]\rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] C) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] B)
> [mm]\rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] C)
> [mm]\gdw[/mm] ((x [mm]\in[/mm] A) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] B)) [mm]\rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] C)
> [mm]\gdw[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm] C
Ich würde das so machen.
"[mm]\Rightarrow[/mm]" zu zeigen [mm]A\subseteq C,B\subseteq C \Rightarrow A\cup B\subseteq C[/mm]
[mm]x\in (A\cup C)\gdw x\in A \vee x\in C \Longrightarrow x\in C \vee x\in C\Rightarrow x\in C[/mm]
Kannst du damit mehr anfangen?
PS: Meine Sätze beziehen sich immer auf die vorherige Zeile. Ist schlecht formatiert.
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jaa das hat schon aufjedenfall geholfen ich denke jetzt krieg ich es hin, dankeschön
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