Beweis einer Metrik < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:27 Do 19.04.2012 | | Autor: | edding |
| Aufgabe | Untersuchen Sie ob die folgenden Abbildungen eine Metrik ist:
1) X=C[a,b], d(f,g) := [mm] \int_{a}^{b} \bruch{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}
[/mm]
2) [mm] X=R^n, [/mm] d(x,y) := [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (1/2^k)* \bruch{|xk-yk|}{1+|xk-yk|} [/mm] |
soo liebe leute.. dies sind die aufgaben, mit denen ich nicht so klar komme
mir sind die definitionen bekannt
(a) definitheit
(b) symmetrie
(c) dreiecksungleichung
ich habe etwas schwierigkeiten diese dort anzuwenden
(a) is klar
(b) reicht es, wenn ich die praktisch andersrum aufschreibe?.. ich denke nicht
(c) hab ich noch überhaupt keine idee
ich bitte um tipps o. ä.
vielen dank
p.s. "/" soll ein betragsstrich sein xD
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Fr 20.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo edding,
> Untersuchen Sie ob die folgenden Abbildungen eine Metrik
> ist:
>
> 1) X=C[a,b], d(f,g) := [mm]\int_{a}^{b}[/mm] ( /f(x)-g(x)/ ) :
> (1+/f(x)-g(x)/)
>
> 2) [mm]X=R^n,[/mm] d(x,y) := [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (1/2^k)*([/mm] /xk-yk/
> : 1+/xk-yk/)
> soo liebe leute.. dies sind die aufgaben, mit denen ich
> nicht so klar komme
>
> mir sind die definitionen bekannt
> (a) definitheit
> (b) symmetrie
> (c) dreiecksungleichung
>
> ich habe etwas schwierigkeiten diese dort anzuwenden
> (a) is klar
> (b) reicht es, wenn ich die praktisch andersrum
> aufschreibe?.. ich denke nicht
jein. Du sollst einfach begründen, wie das zustandekommt.
Anderes Beispiel:
Würde ich bei 1) [mm] $t(f,g):=\int_a^b [/mm] (|f(x)|-|g(x)|)dx$ definieren, so wäre [mm] $t(g,f)=\int_a^b (|g(x)|-|f(x)|)dx\stackrel{(1)}{=}\int_a^b ((-1)*(|f(x)|-|g(x)|))dx\stackrel{(2)}{=}(-1)*\int_a^b [/mm] (|f(x)|-|g(x)|)dx=(-1)*t(f,g)$ - denn:
Bei (1) habe ich nur in [mm] $\IR$ [/mm] gerechnet - Distributivgesetz und Komm. der Addition etc.: [mm] $(s-r)=...=(-1)*(r-s)\,.$
[/mm]
Und bei (2) habe ich bekannte Rechenregeln für Integrale verwendet, sowas wie
[mm] $$\int_a^b (k*f(x))dx=k*\int_a^b [/mm] f(x)dx$$
für eine konstante Zahl [mm] $k\,.$ [/mm] (Und "integrierbares" [mm] $f\,$ [/mm] ... .)
Im Prinzip ist Deine Aufgabe oben nur, das ähnlich zu rechnen, um zu sehen, ob Symmetrie gilt oder nicht...
P.S.
Schreibe die Formeln mit dem Formeleditor. Bei 2) ist mir nicht ganz klar, ob Du da nicht eine Klammer vergessen hast - also ob das [mm] $|x_k-y_k|$ [/mm] nicht zusammen mit der [mm] $1\,$ [/mm] im Nenner steht...
P.P.S.
Solche Dreiecksungleichungen führt man meistens auf bekannte Dreiecksungleichungen zurück - und benutzt dann entsprechende Regeln für Integration oder Summation. Oben ist das aber vermutlich schon ein klein wenig mehr Arbeit - soweit ich das gerade überblicke (zumal ich ähnliche Aufgaben schon gerechnet habe und weiß, dass da irgendwo eine kleine "Hilfsabschätzung" meist nützlich ist).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:15 Fr 20.04.2012 | | Autor: | edding |
hallöchen,
danke für deine schnelle antwort.
ja.. mit der symmetrie hab ich mir das schon gedacht. kann ich dasselbe für 2.) auch so machen?
so kokmmen wir zur dreieicksungleichung.
es reicht vermutlich nicht, einfach nen h(x) oder enstsprechend bei 2. ein zk einzufügen...
hmm.. wie könnte ich beide auf bekannte dreiecksungleichungen zurückführen?
[mm] \bruch{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|} \le [/mm] 1
hihi.. hmmm...ich weiß nicht, ob mir das weiterhilft
oder kann ich dann die fälle betrachten, dass ein gewisses h(x) < f(x) oder g(x) bzw h(x)=f(x) bzw =g(x)
bei 2. macht mir die [mm] (1/2^k) [/mm] angst
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Fr 20.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo edding und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> ja.. mit der symmetrie hab ich mir das schon gedacht. kann
> ich dasselbe für 2.) auch so machen?
Ja.
> so kokmmen wir zur dreieicksungleichung.
> es reicht vermutlich nicht, einfach nen h(x) oder
> enstsprechend bei 2. ein zk einzufügen...
> hmm.. wie könnte ich beide auf bekannte
> dreiecksungleichungen zurückführen?
> [mm]\bruch{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|} \le[/mm] 1
> hihi.. hmmm...ich weiß nicht, ob mir das weiterhilft
> oder kann ich dann die fälle betrachten, dass ein
> gewisses h(x) < f(x) oder g(x) bzw h(x)=f(x) bzw =g(x)
Bei 1) bzw. 2) gilt
[mm] $d(f,g)=\int_{a}^{b}{F(|f(x)-g(x)|)dx}$
[/mm]
bzw.
$d(x,y)= [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (1/2^k)\cdot{} F(|x_k-y_k|)$
[/mm]
mit
[mm] $F\colon[0,\infty)\to\IR,\quad F(t)=\bruch{t}{1+t}$.
[/mm]
Überlege dir, dass F monoton wachsend ist (z.B. mithilfe der Ableitung) und
[mm] $F(s+t)\le [/mm] F(s)+F(t)$
für alle [mm] $s,t\in[0,\infty)$ [/mm] erfüllt.
> bei 2. macht mir die [mm](1/2^k)[/mm] angst
Dieser Vorfaktor sorgt gerade dafür, dass die Reihe überhaupt konvergiert. Das müsstest du dir auch noch überlegen.
Dazu ist die Eigenschaft [mm] $F(t)\in[0,1]$ [/mm] für alle [mm] $t\in[0,\infty)$ [/mm] nützlich. Um diese Eigenschaft zu verifizieren, betrachte $F(0)$, [mm] $\lim_{t\to\infty}F(t)$ [/mm] und die Monotonie von F.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Fr 20.04.2012 | | Autor: | edding |
hehe.. dankesehr...
ich hab soweit verstanden...
kannst du mir noch verraten in welchem zusammenhang die monotonie und den beweis der metrik stehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Fr 20.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> kannst du mir noch verraten in welchem zusammenhang die
> monotonie und den beweis der metrik stehen?
Versuche mal, die Dreiecksungleichungen mittels der Darstellungen mit F nachzurechnen. Dann wirst du sehen, dass du jeweils an einer Stelle die Monotonie von F benötigst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Fr 20.04.2012 | | Autor: | edding |
hehe.. nein tu ich leider nicht...
ich kenne den zusammenhang ja leider noch nicht ;)
kannst du mir den zusammenhang kurz erklären bitte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo edding,
> hehe.. nein tu ich leider nicht...
> ich kenne den zusammenhang ja leider noch nicht ;)
>
> kannst du mir den zusammenhang kurz erklären bitte?
ich mach's an einer Metrik, die bzgl. Deiner Aufgabe sowas von ähnlich ist:
Sei [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ein metrischer Raum. Ich behaupte: Mittels [mm] $d\,'(x,y):=d(x,y)/(1+d(x,y))$ [/mm] ist dann auch [mm] $(X,d\,')\,$ [/mm] ein metrischer.
Beweis.
Es ist klar ,dass [mm] $d\,'(x,y)=0 \gdw [/mm] d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y$ und auch [mm] $d\,'(x,y)=d\,'(y,x)$ [/mm] ergibt sich aus den Eigenschaften von [mm] $d\,.$
[/mm]
Zur Dreiecksungleichung:
(1) Zunächst zur Hilfsfunktion:
Sei $F(t):=t/(1+t)$ für $t [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Mittels der Ableitung von [mm] $F\,$ [/mm] -
es ist [mm] $F'(t)=1/(1+t)^2 [/mm] > 0$ für alle $t [mm] \ge [/mm] 0$
- sieht man, dass [mm] $F\,$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] streng wächst.
Weiter war ja
[mm] $$\red{(\star)\;\;\;F(s+t) \le F(s)+F(t)\, \text{ für } s,t \ge 0}$$ [/mm]
behauptet:
Es gilt nun (für $s,t [mm] \ge [/mm] 0$)
[mm] $$F(s+t)=\frac{s+t}{1+s+t} \le \frac{s}{1+s+t}+\frac{t}{1+s+t} \le \frac{s}{1+s}+\frac{t}{1+t}=F(s)+F(t)\,.$$
[/mm]
(2) Zurück zur Dreiecksungleichung:
Seien $x,y,z [mm] \in X\,.$ [/mm] Wir setzen [mm] $s:=d(x,y)\,$ [/mm] und [mm] $t:=d(y,z)\,.$
[/mm]
Nun gilt unter Benutzung der Dreiecksungleichung für [mm] $d\,$ [/mm] (NICHT [mm] $d\,'$ [/mm] (!!)):
[mm] $$d\,'(x,z)=F(d(x,z)) \stackrel{\displaystyle\substack{\text{ bea.: }0 \le d(x,z) \le \overbrace{d(x,y)}^{\red{=s\ge 0}}+\overbrace{d(y,z)}^{\red{=t\ge 0}}\\F \text{ wächst streng}}}{\le} [/mm] F(d(x,y)+d(y,z))=F(s+t) [mm] \stackrel{\red{(\star)}}{\le}F(s)+F(t)\,.$$
[/mm]
Einsetzen von $s=d(x,y) [mm] \ge [/mm] 0$ und $t=d(y,z) [mm] \ge [/mm] 0$ und Benutzen der Definition von [mm] $d\,'$ [/mm] liefert dann die Behauptung.
P.S.
Bei Deiner Aufgabe sieht die Rechnung eigentlich so gut wie genauso aus. Im Prinzip kannst Du Deine Aufgabe auch auf obige Aussage zurückführen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 So 22.04.2012 | | Autor: | edding |
aaah.. cool.. das klingt alles plausibel... dankeschön
beachte ich in den fällen denn nicht, dass es sich um a) ein integral handelt und b eine summe mit [mm] (1/2^k) [/mm] als weiteren faktor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 So 22.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> beachte ich in den fällen denn nicht, dass es sich um a)
> ein integral handelt und b eine summe mit [mm](1/2^k)[/mm] als
> weiteren faktor?
Doch, selbstverständlich. Marcel hat dir ja nur eine ähnliche Aufgabe vorgerechnet. Dein Job ist nun, deine beiden Aufgaben zu bearbeiten... 
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