Beweis einer Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Vertex |
| Aufgabe | Zeige, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}}\le2-\bruch{1}{n} [/mm] |
Hallo zusammen,
obige Aufgabe gilt es zu lösen.
Die vollständige Induktion soll zum Zuge kommen.
Ein Induktionsanfang mit n=1 lässt sich flink machen:
[mm] \summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{k^{2}}=\bruch{1}{1^{2}}=1\le1=2-\bruch{1}{1}
[/mm]
Induktionsschritt auf n+1
... und jetzt habe ich absolut keine Ahnung wie es weitergehen soll.
Das Ziel wäre ja
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k^{2}}\le2-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Ich habe schon ein paar Ansätze ausprobiert und vermute das mir die Schwarzsche Ungleichung
[mm] (\summe_{k=1}^{n}a_{k}b_{k})^{2}\le(\summe_{k=1}^{n}a_{k}^{2})(\summe_{k=1}^{n}b_{k}^{2})
[/mm]
weiterhelfen kann. Wie genau und ob dann auch wirklich, weiss ich leider nicht.
Ein Hinweis/ Tipp für eine Lösung wäre sehr nett.
Vielen Dank und Gruß,
Vertex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Fr 06.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Vertex
Wie bei fast allen Induktionsbeweisen musst du wirklich die Induktiosvors. benutzen!! insbesondere bei Summen schreibt man IMMER summe bis n+1 als Summe bis n [mm] +a_{n+1}
[/mm]
> Zeige, dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}}\le2-\bruch{1}{n}[/mm]
> Induktionsschritt auf n+1
>
> Das Ziel wäre ja
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k^{2}}\le2-\bruch{1}{n+1}[/mm]
Hier also:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k^{2}}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^{2}}+\bruch{1}{(n+1)^2}\le1-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^2}[/mm]
So, und jetzt musst du nur noch zeigen, dass [mm] $\bruch{1}{n}-\bruch{1}{(n+1)^2}\ge\bruch{1}{n+1} [/mm] $ist. Das solltest du schaffen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Vertex |
Hallo Leduart,
danke für deine Hilfestellung. Glaubs oder nicht, aber ich hab wenige Minuten nach deiner Antwort bis jetzt gebraucht um zu verstehen warum deine Antwort richtig ist...
Ungleichungen werden nochmal mein Untergang sein... Es lebe das Gleichheitszeichen!!
Vielen Dank nochmal, Gruß
Vertex
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