Beweis einer Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 So 18.11.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \vektor{n \\ 2} \ge \bruch{n^{2}}{4} [/mm] |
Hallo liebe leute,
[mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] ist dieser Binominalkoeffizient und wird definiert durch [mm] \bruch{n!}{(n-2)! *2!} [/mm] . Ich hab mal versucht das ganze via vollständiger Induktion zu lösen, aber komme mittendrin net mehr weiter.
Induktionsanfang:
n=3 : [mm] \vektor{3 \\ 2} \ge \bruch{3^{2}}{4}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{6}{2} \ge \bruch{9}{4} [/mm] <- stimmt
Induktionsvor.:
[mm] \vektor{n \\ 2} \ge \bruch{n^{2}}{4} [/mm] gilt für ein festen [mm] n\in \IN
[/mm]
Induktionsschluss:
[mm] \bruch{(n+1)!}{(n+1-2)! *2!} \ge \bruch{(n+1)^{2}}{4}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n!*(n+1)}{(n-2)! * (n-1) *2} \ge \bruch{(n+1)^{2}}{4}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n!}{(n-2)! *2} [/mm] * [mm] \bruch{n+1}{n-1} \ge \bruch{(n+1)^{2}}{4} [/mm]
So, hier habe ich die Induktionsvoraussetzung schön stehen, aber irgendwie kann ich hier ja nicht einsetzen wie es bei einer Gleichung der Fall wäre. Mir fehlt also dieser letzte schritt, hoffe ihr könnt mir helfen.
lg jun
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jun-Zhe!
Es gilt doch: [mm] $\vektor{n\\2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n-1)}{1*2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n-1)}{2}$ [/mm] .
Damit sollte der Nachweis doch gelingen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
Hi Loddar,
Ah danke, den Binomialkoeffizienten soweit aufzulösen, daran hätte ich gar nicht gedacht. Mir fällt aber leider keine Umformung ein wo dabei [mm] n^{2} [/mm] + n [mm] \ge n^{2} [/mm] rauskommt oder sowas in der Art...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Mo 19.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich würd die Formel von Loddar nehmen und direkt (ohne Induktion loslegen für
[mm] n\ge2 [/mm]
fang an mit [mm] (n-1)^2>1 [/mm] für n>1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:14 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Jun-Zhe |
Hi leduart,
da musste ich ja echt lange überlegen bis ich verstanden habe was du mir mit deinem post sagen wolltest, aber ich glaub ich habs jetzt:
[mm] \bruch{n(n-1)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{n^2(n-1)^2}{4}
[/mm]
da [mm] (n-1)^{2}>1 [/mm] für n>1 gilt nun:
[mm] \bruch{n^2(n-1)^2}{4} \ge \bruch{n^2}{4}
[/mm]
Die Lösung kommt mir aber etwas trivial vor, stimmt das denn so?
*edit*
Mir ist grad noch beim Zähneputzen etwas eingefallen. Müsste es nicht [mm](n-1)^{2} \red\ge 1[/mm] für n>1 sein?
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Mach's doch nicht so kompliziert, Induktion ist gar nicht nötig. Du sollst zeigen, dass
[mm]\bruch{n^2 - n}{2} \ge \bruch{n^2}{4}[/mm]
[mm]\gdw n^2 - 2n \ge 0[/mm]
[mm]\gdw n \ge 2[/mm]
Das war's.
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