Beweis einer Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Franzie |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Ungleichung 1-x [mm] \le e^{-x} [/mm] (0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1). Sie können zum Beispiel die Taylorreihe oder den Satz von Taylor für die Funktion
f(x)= [mm] e^{-x} [/mm] verwenden! |
Hallo ihr Lieben!
Hab zu der gegebenen Funktion die Taylorentwicklung gebildet, und zwar sieht die bei mir wie folgt aus:
[mm] T_{n}(x)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!e^{x}(a)}*(a-x)^{k}
[/mm]
Ich weiß jetzt allerdings nicht, wie ich damit die Ungleichung beweisen soll bzw. wie ich die Taylorentwicklung für eine geeignete Abschätzung verwenden kann.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
liebe Grüße
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Hallo Franzie,
> Zeigen Sie, dass die Ungleichung 1-x [mm]\le e^{-x}[/mm] (0 [mm]\le[/mm] x
> [mm]\le[/mm] 1). Sie können zum Beispiel die Taylorreihe oder den
> Satz von Taylor für die Funktion
> f(x)= [mm]e^{-x}[/mm] verwenden!
> Hallo ihr Lieben!
>
> Hab zu der gegebenen Funktion die Taylorentwicklung
> gebildet, und zwar sieht die bei mir wie folgt aus:
>
> [mm]T_{n}(x)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!e^{x}(a)}*(a-x)^{k}[/mm]
hmm, was ist das für ein Ungetüm? 
Es ist doch [mm] $e^{\blue{x}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}\blue{x}^k$, [/mm] also [mm] $e^{\blue{-x}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}(\blue{-x})^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\cdot{}x^k$
[/mm]
Das ein bisschen ausgeschrieben ist [mm] $=1-x\red{+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}\mp ...}$
[/mm]
Nun musst du "nur" noch überlegen, ob und wenn ja wieso der hintere rote Teil [mm] $\red{\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}\mp ...}$ [/mm] für [mm] $0\le x\le [/mm] 1$ auch größer als 0 ist ...
Dann wärest du direkt fertig ...
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> Ich weiß jetzt allerdings nicht, wie ich damit die
> Ungleichung beweisen soll bzw. wie ich die
> Taylorentwicklung für eine geeignete Abschätzung verwenden
> kann.
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
>
> liebe Grüße
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Einfacher gehts mit dem Mittelwertsatz.
Setze $ g(x) = [mm] e^x+x-1$ [/mm] Dann ist $g(0) =0$ Für x>0 und x [mm] \le [/mm] 1: es ex ein t zwischen 0 und x mit:
$g(x) = g(x)-g(0) = xg'(t) = [mm] x(e^t+1) [/mm] >0$
FRED
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