Beweis einer Ungleichung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Gilt [mm] \wurzel[2]{|x-y|} \le \wurzel[2]{|x-r|} [/mm] + [mm] \wurzel[2]{|r-y|}? [/mm] |
Hallo!
Im Rahmen einer Übungsaufgabe im Buch Analysis von Rudin würde mir
obige Ungleichung weiterhelfen.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese Ungleichung bewiesen habe.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob mein Beweis korrekt ist oder nicht.
Falls die Vermutung falsch ist würde ich mich natürlich genau so sehr über ein Gegenbeispiel freuen :)
Behauptung: [mm] \wurzel[2]{|x-y|} \le \wurzel[2]{|x-r|} [/mm] + [mm] \wurzel[2]{|r-y|}?
[/mm]
Beweis:
Angenomen [mm] \wurzel[2]{|x-y|} [/mm] > [mm] \wurzel[2]{|x-r|} [/mm] + [mm] \wurzel[2]{|r-y|}.
[/mm]
Dann ist |x-y| > [mm] \wurzel[2]{|x-r|*|x-y|} [/mm] + [mm] \wurzel[2]{|r-y|*|x-y|}
[/mm]
= [mm] \wurzel[2]{|x-r|*|x-y|} [/mm] + [mm] \wurzel[2]{|y-r|*|x-y|}
[/mm]
= [mm] \wurzel[2]{|x^2 - 2xy - rx + ry|} [/mm] + [mm] \wurzel[2]{|yx - y^2 - rx + ry|}
[/mm]
= [mm] \wurzel[2]{|x^2 - xy + r(y - x)|} [/mm] + [mm] \wurzel[2]{|y^2 - yx + r(x - y)|}
[/mm]
Da dies für alle r [mm] \in \R [/mm] gilt, gilt es insbesondere auch für r = 0.
Sei also r = 0, x = 4 und y = 3.
Dann ist
|4 - 3| = 1 > [mm] \wurzel[2]{|16 - 12|} [/mm] + [mm] \wurzel[2]{|9 - 12|}
[/mm]
= [mm] \wurzel[2]{4} [/mm] + [mm] \wurzel[2]{3}
[/mm]
= 2 + [mm] \wurzel[2]{3}
[/mm]
Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass die Annahme falsch war, und somit die Behauptung gilt.
|
|
| |
|
Hallo Benjamin (...),
> Behauptung: [mm]\wurzel[2]{|x-y|} \le \wurzel[2]{|x-r|}[/mm] +
> [mm]\wurzel[2]{|r-y|}?[/mm]
>
> Beweis:
>
> Angenomen [mm]\wurzel[2]{|x-y|}[/mm] > [mm]\wurzel[2]{|x-r|}[/mm] +
> [mm]\wurzel[2]{|r-y|}.[/mm]
>
> Dann ist |x-y| > [mm]\wurzel[2]{|x-r|*|x-y|}[/mm] +
> [mm]\wurzel[2]{|r-y|*|x-y|}[/mm]
> = [mm]\wurzel[2]{|x-r|*|x-y|}[/mm] +
> [mm]\wurzel[2]{|y-r|*|x-y|}[/mm]
> = [mm]\wurzel[2]{|x^2 - 2xy - rx + ry|}[/mm]
> + [mm]\wurzel[2]{|yx - y^2 - rx + ry|}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel[2]{|x^2 - xy + r(y - x)|}[/mm] + [mm]\wurzel[2]{|y^2 - yx + r(x - y)|}[/mm]
>
> Da dies für alle r [mm]\in \R[/mm] gilt, gilt es insbesondere auch
> für r = 0.
> Sei also r = 0, x = 4 und y = 3.
>
> Dann ist
> |4 - 3| = 1 > [mm]\wurzel[2]{|16 - 12|}[/mm] + [mm]\wurzel[2]{|9 - 12|}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel[2]{4}[/mm] + [mm]\wurzel[2]{3}[/mm]
> = 2 + [mm]\wurzel[2]{3}[/mm]
>
> Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass die Annahme falsch war,
> und somit die Behauptung gilt.
Zunächst erstmal muss ich dir leider mitteilen, dass dein Beweis keiner ist, auch wenn ich auch auf den ersten Blick mit ihm sympathisiert hatte 
Denn schau: Die Negation von "Für alle $x,y,r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt: Ungleichung mit [mm] \le [/mm] " ist "Es existiert eine Kombination von $x,y,r [mm] \in \IR$ [/mm] sodass gilt: Ungleichung mit > ". In einem Widerspruchsbeweis müsstest du nun zeigen, dass diese Aussage falsch ist, d.h. das keine Kombination von $x,y,r [mm] \in \IR$ [/mm] existiert, sodass die Ungleichung mit > gilt.
Du hast es jedoch nur für eine Kombination gezeigt, noch lange nicht für alle.
Ich nehme an, für deinen Beweis reicht dir die einfache Dreiecksungleichung nicht aus:
$|x-y| = |x-r+r-y| [mm] \le [/mm] |x-r| + |r-y| = |x-r| + |y-r|$
?
Daraus könnte man zumindest auch schließen:
[mm] $\sqrt{|x-y|} [/mm] = [mm] \sqrt{|x-r+r-y|} \le \sqrt{|x-r| + |r-y|} [/mm] = [mm] \sqrt{|x-r| + |y-r|}$
[/mm]
Und dann müsste man nur noch zeigen, dass
[mm] $\sqrt{|x-r| + |y-r|} \le \sqrt{|x-r|} [/mm] + [mm] \sqrt{|y-r|}$
[/mm]
gilt...
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
