Beweis einer Äquivalenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] t\ge1 [/mm] eine natürliche Zahl und [mm] a_{1},...,a_{t} [/mm] von Null verschiedene natürliche Zahlen.
Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] die Äquivalenz
[mm] \summe_{i=1}^{t}a_{i}=\summe_{i=1}^{t}a_{i}^n [/mm] <=> [mm] \forall 1\le i\le [/mm] n [mm] (a_{i}=1) [/mm] |
Hey Leute
[mm] \summe_{i=1}^{t}a_{i}=\summe_{i=1}^{t}a_{i}^n
[/mm]
Wäre davon die richtige Notation <=> [mm] a_{i}+a_{i}+a_{i}+....a_{i}=a_{i}^n+a_{i}^n+a_{i}^n+....a_{i}^n
[/mm]
oder
<=> [mm] a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+....a_{t}=a_{i}^n+a_{i+1}^n+a_{i+2}^n+....a_{t}^n [/mm] ?
Da bin ich mir irgendwie unsicher. Ich hab meinen Beweis aber mit der ersten Version nun erstellt:
[mm] \summe_{i=1}^{t}a_{i}=\summe_{i=1}^{t}a_{i}^n
[/mm]
<=> [mm] a_{i}+a_{i}+a_{i}+....a_{i}=a_{i}^n+a_{i}^n+a_{i}^n+....a_{i}^n
[/mm]
<=> [mm] a_{i}+a_{i}+a_{i}+....a_{i}=a_{i}*a_{i}^{n-1}+a_{i}*a_{i}^{n-1}+a_{i}*a_{i}^{n-1}+....+a_{i}*a_{i}^{n-1}
[/mm]
<=> [mm] 1+1+...+1=a_{i}^{n-1}+a_{i}^{n-1}+...+a_{i}^{n-1}
[/mm]
<=> [mm] 1(1+1+...+1)=a_{i}^{n-1}(1+1+...+1)
[/mm]
<=> [mm] 1=a_{i}^{n-1}
[/mm]
Wegen [mm] n\ge1 [/mm] folgen 2 Fälle:
1. Fall n=1: [mm] 1=a_{i}^{0}=1
[/mm]
2. Fall n>1: [mm] 1=a_{i}^{n-1}=\wurzel[n-1]{1}=a_{i}=1
[/mm]
"=>" ist die Richtung so richtig bewiesen?
Nun kommt die Richtung "<=" :
[mm] a_{i}=1 [/mm] <=> [mm] a_{i}^n=1^n
[/mm]
Da [mm] 1^n=1 [/mm] ist => [mm] a_{i}^n=a_{i} [/mm]
Jetzt bin ich mir sehr unsicher ob man das machen darf...
Daraus folgt [mm] \summe_{i=1}^{t}a_{i}=\summe_{i=1}^{t}a_{i}^n
[/mm]
Ist der Beweis in Ordnung so?
Liebe Grüße blaub33r3
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Hallo BeeRe,
wieso soll das äquivalent sein?
Nehmen wir t=3, [mm] a_1=2, a_2=3, a_3=4 [/mm] und n=2
Dann ist [mm] a_1+a_2+a_3 \not= a_1^n+a_2^n-a_3^n
[/mm]
Die Behauptung ist damit widerlegt.
Ich denke aber kaum, dass das gemeint ist. Wie lautet die Aufgabe also vollständig?
lg
reverend
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| Aufgabe | Seien [mm] t\ge1 [/mm] eine natürliche Zahl und [mm] a_{1},...,a_{t} [/mm] von Null verschiedene natürliche Zahlen.
Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen [mm] n\ge1 [/mm] die Äquivalenz
[mm] \summe_{i=1}^{t}a_{i}=\summe_{i=1}^{t}a_{i}^n [/mm] <=> [mm] \forall 1\le i\le [/mm] n [mm] (a_{i}=1) [/mm] |
Oh, was ist da denn passiert!! Sorry und danke für den Hinweis, Reverend. Hier nochmal die korrekte Aufgabenstellung!
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Sa 19.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier musst du zwei Richtugen zeigen.
1: Aus der Tatsache alle [mm] \green{a_{i}=1} [/mm] folgt:
$ [mm] \summe_{i=1}^{t}a_{i}=\summe_{i=1}^{t}a_{i}^n [/mm] $
Also im Endeffekt:
$ [mm] \summe_{i=1}^{t}\green{1}=\summe_{i=1}^{t}\green{1}^n [/mm] $
Und 2. Aus $ [mm] \green{\summe_{i=1}^{t}a_{i}=\summe_{i=1}^{t}a_{i}^n} [/mm] $ folgt dass alle [mm] a_{i}=1.
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Sa 19.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo BeeRe, hallo Marius,
ich zweifle immer noch an der Aufgabe.
Jedes beliebige [mm] a_i [/mm] könnte auch Null sein, und wenn n ungerade ist, auch -1.
Es gehört also schon noch [mm] a_i\in\IN [/mm] zur Aufgabenstellung, oder?
Dann wäre der zweite Teil leicht zu zeigen, wenn man [mm] c^n>c [/mm] für c,n>1 voraussetzen darf. Wenn nicht, kann man es aber leicht zeigen. Für c=1 oder n=1 gilt [mm] c^n=c.
[/mm]
lg
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Ich hab doch beide Richtungen versucht ordentlich zuzeigen, aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass ihr mehr über meine Frage rätselt (obwohl ich die beim 2ten Mal haargenausten abgetippt habe) und nicht auf meinen Ansatz eingeht?^^
Was mich irriert ist: $ [mm] a_{1},\ldots,a_{t} [/mm] $ von Null verschiedene natürliche Zahlen. Die sollen doch sowieso alle 1 sein! Das ergibt für mich überhaupt keinen Sinn. Ich finde die Aufgabe schon sehr merkwürdig..
Grüße, B33r3
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
Der Aufgabenteil ist leider durch den Fragesteller aus seinem Zusammenhang gerissen worden.
Aufgabenteil a) lautete:
| Aufgabe 1 | | Sei $k [mm] \ge [/mm] 1$ eine natürliche Zahl. Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen $n [mm] \ge [/mm] 1$ stets die Ungleichung $k [mm] \le k^n$ [/mm] gilt, und dass darüber hinaus für alle natürlichen $n [mm] \ge \red{2}$ [/mm] die Äquivalenz $k = [mm] k^n\ \gdw\ [/mm] k = 1$ gültig ist. |
In diesem Aufgabenteil war ebenfalls eine Tippfehler (auf dem Originalblatt), den ich oben verbessert habe.
In Aufgabenteil befinden sich meiner Meinung nach zwei Tippfehler, der Korrektur ich rot markiert habe:
| Aufgabe 2 | Seien [mm] $t\ge1$ [/mm] eine natürliche Zahl und [mm] $a_{1},\ldots,a_{t}$ [/mm] von Null verschiedene natürliche Zahlen.
Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen [mm] $n\ge\red{2}$ [/mm] die Äquivalenz
[mm] $\summe_{i=1}^{t}a_{i}=\summe_{i=1}^{t}a_{i}^n\ \gdw\ \forall 1\le i\le \red{t} (a_{i}=1)$ [/mm] |
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Sa 19.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Marc,
das sieht viel besser aus. So hätte ich die Aufgabe auch vermutet, daher ja mein bereits gegebener Hinweis.
Viel interessanter finde ich aber gerade die Frage, woher Du den Original-Aufgabenzettel hast... 
lg
reverend
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Hallo BeeRe,
diese Aufgabenstellung mag ja so auf Deinem Blatt stehen, Unsinn ist sie ohne weitere Angaben trotzdem. Die von Marc eingestellte Fassung dagegen ist sinnvoll und lösbar.
Zu Deinem Ansatz: Du behandelst [mm] a_i [/mm] als Konstante. Das ist ja nicht wahr. Wenn Du die linke Summe ausschreibst, bekommst Du doch
[mm] \summe_{i=1}^t a_i=a_1+a_2+\cdots+a_{t-1}+a_t [/mm] und nicht etwa [mm] t*a_i.
[/mm]
Mit anderen Worten: diesen Ansatz kannst Du getrost in die Tonne kloppen. Sorry.
Mit meinem Hinweis oben und der sinnvoll korrigierten Aufgabenstellung von Marc solltest Du aber trotzdem leicht eine richtige Lösung finden können.
lg
reverend
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