Beweis einer Äquivalenzklasse < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Di 04.11.2014 | | Autor: | exos |
| Aufgabe | Sei (G, +) eine abelsche Gruppe und U [mm] \subseteq [/mm] G eine Untergruppe.
Für zwei Untermengen A,B [mm] \subseteq [/mm] G setzen wir
A + B := {a+b | a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B} [mm] \subseteq [/mm] G.
Beweisen Sie: sind A und B Äquivalenzklassen der Äquivalenrelation Ru, so ist auch A+B eine Äquivalenzklasse.
Bem.: g [mm] \simRu [/mm] h [mm] \gdw [/mm] g - h /in U |
Ich denke, ich habe schon bewiesen, dass die Relation g Ru h ein Äquivalenzrelation ist. Das war der erste Aufgabenteil.
Nun bin ich allerdings etwas ratlos. Wie kann ich beweisen, dass die Summe auch eine Äquivalenzklasse bildet? Muss ich nochmal Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachweisen?
Wäre für Eure Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei (G, +) eine abelsche Gruppe und U [mm]\subseteq[/mm] G eine
> Untergruppe.
> Für zwei Untermengen A,B [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G setzen wir
>
> A + B := {a+b | a [mm]\in[/mm] A und b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B} [mm]\subseteq[/mm] G.
>
> Beweisen Sie: sind A und B Äquivalenzklassen der
> Äquivalenrelation Ru, so ist auch A+B eine
> Äquivalenzklasse.
>
> Bem.: g [mm]\simRu[/mm] h [mm]\gdw[/mm] g - h /in U
> Ich denke, ich habe schon bewiesen, dass die Relation g Ru
> h ein Äquivalenzrelation ist. Das war der erste
> Aufgabenteil.
>
> Nun bin ich allerdings etwas ratlos. Wie kann ich beweisen,
> dass die Summe auch eine Äquivalenzklasse bildet? Muss ich
> nochmal Reflexivität, Symmetrie und Transitivität
> nachweisen?
> Wäre für Eure Hilfe sehr dankbar.
entweder bin ich blind, oder ich überlese es die ganze Zeit: Aber wo steht
hier, was die Äquivalenzrelation (Ru?) ist?
Gruß,
Marcel
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Nach $g [mm] \sim [/mm] h [mm] \gdw [/mm] g-h [mm] \in [/mm] U$ zu urteilen vermute ich, dass damit die Restklassen nach einer Untergruppe gemeint sind. Es ist aber nicht ganz eindeutig ersichtlich, richtig.
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Hi exos,
wie in der Mitteilung geschrieben gehe ich mal davon aus du meinst Restklassen modulo einer Untergruppe?
Also $U$ ist eine Untergruppe von $G$ und fuer zwei Elemente $g,h [mm] \in [/mm] G$ gilt
$g [mm] \sim [/mm] h [mm] \gdw [/mm] g-h [mm] \in [/mm] U$.
Nun guck dir nochmal genau die Definition einer Aequivalenzklasse an und stelle dabei fest, dass du folgende zwei Dinge zeigen musst:
1. $A+B [mm] \not= \emptyset$.
[/mm]
2. Sind $x$ und $y$ in $A+B$, so gilt $x [mm] \sim [/mm] y$.
3. Ist $x$ in $A+B$ und $y [mm] \in [/mm] G$ mit $x [mm] \sim [/mm] y$, so gilt auch $y [mm] \in [/mm] A+B$.
Also versuch aus deiner Definition von Aequivalenzklassen aus der Vorlesung zu erkennen und herzuleiten, dass du diese drei Aussagen zeigen musst und dann zeig sie. :)
Sollte es dabei Probleme geben, kannst du gern nochmal fragen.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 05.11.2014 | | Autor: | exos |
Vielen Dank für die Hilfe.
Die Äquivalenzrelation war in Aufgabenteil a) gegeben mit:
a) Zeigen Sie, dass eine Äquivalenzrelation Ru definiert wird, wenn wir $ g [mm] \sim [/mm] h $ durch die Bedingung $ [mm] \gdw [/mm] g-h [mm] \in [/mm] U $ festlegen.
Ich weiß nicht genau, was Restklassen modulo einer Untergruppe ist. Bei dem Thema Relation bin ich noch nicht sattelfest. Aber ich mach mich mal nachher gleich an den Beweis.
Viele Grüße, exos
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