Beweis einer \sigma-Algebra < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:37 Di 23.10.2007 | | Autor: | o.tacke |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega [/mm] eine unendliche Menge und [mm] \mathcal{K} \subset \mathcal{P}(\Omega) [/mm] eine Zerlegung von [mm] \Omega [/mm] in nichtleere Mengen, d. h.
[mm] \bigcup_{A\in\mathcal{K}}^{}A=\Omega
[/mm]
und
[mm] A_{1} \cap A_{2} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] mit [mm] (A_{1},A_{2}\in\mathcal{K}, A_{1} \not= A_{2}).
[/mm]
Zeigen Sie, dass das Mengensystem
[mm] \mathcal{A}:=\{\bigcup_{A\in\mathcal{T}}^{}A|\mathcal{T}\in\mathcal{P}(\mathcal{K})\} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra ist, wobei
[mm] \bigcup_{A\in\mathcal{T}}^{}A:=\emptyset
[/mm]
für [mm] \mathcal{T}=\emptyset\in\mathcal{P}(\mathcal{K}) [/mm] gesetzt wurde. |
Mein Ansatz lautet folgendermaßen:
Um zu zeigen, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra ist, soll zunächst [mm] \mathcal{A} [/mm] näher bestimmt werden.
i) Sei [mm] \mathcal{T} [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm] Dann ist [mm] \bigcup_{A\in\mathcal{T}}^{}A=\emptyset [/mm] nach Definition.
ii) Sei [mm] \mathcal{T} \not= \emptyset. [/mm] Für jedes [mm] \mathcal{T} [/mm] wird dann die Vereinigung aller darin enthaltenen A gebildet und zu [mm] \mathcal{A} [/mm] hinzugefügt. Die A stammen wiederum aus den Elementen von [mm] \mathcal{P}(\mathcal{K}). [/mm] Letztlich ist dann [mm] \mathcal{A}=\mathcal{P}(\mathcal{K}).
[/mm]
Damit [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra ist, muss gelten:
(i) [mm] A\in\mathcal{A} \Rightarrow A^{C}\in\mathcal{A}.
[/mm]
(ii) für jede Folge [mm] (A_{n}) [/mm] von Mengen aus [mm] \mathcal{A} [/mm] liegt [mm] \bigcup_{n\in\IN}^{}A_{n} [/mm] in [mm] \mathcal{A}.
[/mm]
zu i) Offensichtlich ist dies erfüllt, wenn [mm] \mathcal{A}=\mathcal{P}(\mathcal{K}), [/mm] denn zu jeder Teilmenge aus [mm] \mathcal{P}(\mathcal{K}) [/mm] ist dort auch das Komplement enthalten.
zu ii) Offensichtlich ist dies erfüllt, wenn [mm] \mathcal{A}=\mathcal{P}(\mathcal{K}), [/mm] denn die Potenzmenge enthältalle denkbaren Kombinationsmöglichkeiten der A und damit auch sicher deren Vereinigung.
Daraus folgt, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra ist.
Nun bin ich mir aber leider nicht einmal sicher, ob ich
[mm] \mathcal{A}:=\{\bigcup_{A\in\mathcal{T}}^{}A|\mathcal{T}\in\mathcal{P}(\mathcal{K})\}
[/mm]
richtig verstanden habe...
Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
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> Sei [mm]\Omega[/mm] eine unendliche Menge und [mm]\mathcal{K} \subset \mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> eine Zerlegung von [mm]\Omega[/mm] in nichtleere Mengen, d. h.
>
> [mm]\bigcup_{A\in\mathcal{K}}^{}A=\Omega[/mm]
>
> und
>
> [mm]A_{1} \cap A_{2}[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] mit
> [mm](A_{1},A_{2}\in\mathcal{K}, A_{1} \not= A_{2}).[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass das Mengensystem
>
> [mm]\mathcal{A}:=\{\bigcup_{A\in\mathcal{T}}^{}A|\mathcal{T}\in\mathcal{P}(\mathcal{K})\}[/mm]
> eine [mm]\sigma[/mm] -Algebra ist, wobei
>
> [mm]\bigcup_{A\in\mathcal{T}}^{}A:=\emptyset[/mm]
>
> für [mm]\mathcal{T}=\emptyset\in\mathcal{P}(\mathcal{K})[/mm]
> gesetzt wurde.
> Mein Ansatz lautet folgendermaßen:
>
> [...]
>
>
> Letztlich ist dann [mm]\mathcal{A}=\mathcal{P}(\mathcal{K}).[/mm]
> [...]
> Nun bin ich mir aber leider nicht einmal sicher, ob ich
>
> [mm]\mathcal{A}:=\{\bigcup_{A\in\mathcal{T}}^{}A|\mathcal{T}\in\mathcal{P}(\mathcal{K})\}[/mm]
> richtig verstanden habe...
Hallo,
ich meine, daß Du da nicht richtig verstanden hast.
Ich hab's auch nicht gleich verstanden. Dieses Gemachsel mit Mengen von Mengen erschließt sich mir keinesfalls auf den ersten Blick.
Ich versuche in solchen Fällen dann immer, etwas freundlich zu mir zu sein, und gebe mir ein übersichtliches Beispiel.
Und genau das rate ich auch Dir.
Wir nehmen uns nun ein [mm] \Omega, [/mm] welches die disjunkte Vereinigung dreier Mengen [mm] A_1, A_2, A_3 [/mm] sein soll,
und sagen [mm] \mathcal{K}:=\{A_1,A_2,A_3\}.
[/mm]
Damit haben wir die Situation der Aufgabe hergestellt, denn [mm] \mathcal{K} [/mm] ist ja eine Teilmenge von [mm] \mathcal{P}(\Omega).
[/mm]
So. Nun kannst Du anfangen.
Schreib jetzt mal die Menge [mm] \mathcal{P}(\mathcal{K}) [/mm] auf.
Welches sind die Elemente von [mm] \mathcal{P}(\mathcal{K}), [/mm] die [mm] \mathcal{T}\in\mathcal{P}(\mathcal{K})?
[/mm]
Wenn Du das weißt, kannst Du beginnen, die Menge [mm] \mathcal{A} [/mm] zu füllen.
Du wirst sehen, daß [mm] \mathcal{A} [/mm] völlig andersartige Elemente enthält als [mm] \mathcal{P}(\mathcal{K}). [/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Di 23.10.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo, Angela!
Vielen Dank erst einmal für deine Antwort.
> Wir nehmen uns nun ein [mm]\Omega,[/mm] welches die disjunkte
> Vereinigung dreier Mengen [mm]A_1, A_2, A_3[/mm] sein soll,
>
> und sagen [mm]\mathcal{K}:=\{A_1,A_2,A_3\}.[/mm]
>
> Damit haben wir die Situation der Aufgabe hergestellt, denn
> [mm]\mathcal{K}[/mm] ist ja eine Teilmenge von [mm]\mathcal{P}(\Omega).[/mm]
>
> So. Nun kannst Du anfangen.
>
> Schreib jetzt mal die Menge [mm]\mathcal{P}(\mathcal{K})[/mm] auf.
OK, versuche ich's mal.
[mm] \mathcal{P}(\mathcal{K}) [/mm] = { [mm] \emptyset, \{A_{1}\}, \{A_{2}\}, \{A_{3}\}, \{A_{1}, A_{2}\}, \{A_{1}, A_{3}\}, \{A_{2}, A_{3}\}, \{A_{1}, A_{2}, A_{3}\} [/mm] }
> Welches sind die Elemente von [mm]\mathcal{P}(\mathcal{K}),[/mm] die
> [mm]\mathcal{T}\in\mathcal{P}(\mathcal{K})?[/mm]
Hmm, da komme ich nicht mit, fürchte ich. Es sind für [mm] \mathcal{T} [/mm] keine Angaben vorhanden, daher bin ich davon ausgegangen, [mm] \mathcal{T} [/mm] seien die Elemente aus [mm] \mathcal{P}(\mathcal{K}). [/mm] Und wenn ich für diese jeweils die Vereinigung aller A bilde, kommt wieder [mm] \mathcal{P}(\mathcal{K}) [/mm] heraus für [mm] \mathcal{A}.
[/mm]
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Grüße!
Wenn ich mir die Definition von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] näher ansehe, dann kommt da nicht die Potenzmenge von [mm] $\mathcal{K}$ [/mm] heraus...
In dem Beispiel gilt doch:
[mm] $\mathcal{A} [/mm] = [mm] \{ \emptyset, A_1, A_2, A_3, A_1 \cup A_2, A_1 \cup A_3, A_2 \cup A_3, A_1 \cup A_2 \cup A_3 \}$
[/mm]
In Worten: Wenn [mm] $\mathcal{K}$ [/mm] ein System paarweise disjunkter, nichtleerer Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] ist, deren Vereinigung wieder [mm] $\Omega$ [/mm] ergibt, dann basteln wir uns daraus eine [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}$, [/mm] indem wir alle möglichen Vereinigungen dieser Mengen betrachten und diese in ein Mengensystem stecken.
Natürlich steht [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] in Bijektion zu [mm] $\mathcal{P}(\mathcal{K})$, [/mm] denn jeder Teilmenge von [mm] $\mathcal{K}$ [/mm] kann ich die Vereinigung ihrer Elemente zuordnen, aber das [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] selbst lebt in der Potenzmenge von [mm] $\Omega$, [/mm] ist also eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] $\Omega$.
[/mm]
Naja, das ist noch zu zeigen. [mm] $\emptyset \in \mathcal{A}$ [/mm] ist klar, ebenso [mm] $\Omega \in \mathcal{A}$ [/mm] - letzteres folgt daraus, dass die Vereinigung aller [mm] $A_i$ [/mm] wieder [mm] $\Omega$ [/mm] ergibt.
Die anderen Eigenschaften sind auch offensichtlich und sind mit Hilfe der oben genanten Bijektion recht einfach zu zeigen. Ist $A [mm] \in \mathcal{A}$, [/mm] so ist $A$ die Vereinigung von Mengen aus [mm] $\mathcal{K}$ [/mm] und das Komplement von $A$ ebenso, nämlich genau die Vereinigung derjenigen Mengen in [mm] $\mathcal{K}$, [/mm] die disjunkt von $A$ sind.
Und ähnlich für den letzten Teil, der Abgeschlossenheit bzgl. abzählbaren Vereinigungen. Im Wesentlichen verwendet man nur, dass es sich bei dem [mm] $\mathcal{K}$ [/mm] um eine Partition von [mm] $\Omega$ [/mm] handelt.
Alles klar?
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Di 23.10.2007 | | Autor: | o.tacke |
> Grüße!
>
> Wenn ich mir die Definition von [mm]\mathcal{A}[/mm] näher ansehe,
> dann kommt da nicht die Potenzmenge von [mm]\mathcal{K}[/mm]
> heraus...
>
> In dem Beispiel gilt doch:
>
> [mm]\mathcal{A} = \{ \emptyset, A_1, A_2, A_3, A_1 \cup A_2, A_1 \cup A_3, A_2 \cup A_3, A_1 \cup A_2 \cup A_3 \}[/mm]
Ah, jetzt verstehe ich meinen Irrtum. Ich habe die Elemnte von [mm] \mathcal{A} [/mm] zu Mengen gemacht. Naja, sind ja Mengen, aber die geschweiften Klammern um das ganze in [mm] \mathcal{A} [/mm] waren zu viel. Klar, dann sind die auch aus [mm] \Omega.
[/mm]
> Alles klar?
Ja, das hat mir sehr geholfen! Vielen Dank!
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