Beweis eines Satzes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Sa 06.11.2010 | | Autor: | hansmuff |
| Aufgabe | | Satz: Es seine [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] zwei konvergente Folgen, so dass [mm] a_n \ge b_n, [/mm] dann gilt auch [mm] lim_{n\rightarrow \infty}a_n\ge lim_{n\rightarrow \infty}b_n. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe einen Beweis dafür aus einem Vorlesungsskript:
Widerspruchsbeweis:
"Wir schreiben [mm] a=lim_{n\rightarrow \infty}a_n [/mm] und [mm] b=lim_{n \rightarrow \infty} b_n. [/mm] Nehmen wir an, dass b>a. Wir setzen [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \frac{b-a}{2}. [/mm] Es ist [mm] \epsilon [/mm] > 0, es existiert daher ein N, so dass für alle [mm] n\ge [/mm] N gilt:
[mm] |a-a_n|<\epsilon [/mm] und [mm] |b-b_n|<\epsilon.
[/mm]
Dann gilt aber für [mm] n\ge [/mm] N, dass
[mm] a-a_n \le |a-a_n| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \frac{b-a}{2} [/mm] , also (*) [mm] \frac{a+b}{2}
und
[mm] b-b_n \le |b-b_n| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \frac{b-a}{2} [/mm] , also (*) [mm] \frac{a+b}{2}>b_n [/mm]
Es folgt [mm] b_n
Die Stellen (*) verstehe ich nicht. Wie formt man die Ungleichung so um? Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch. Wie kommt man darauf... ist wahrscheinlich total einfach.
Den Rest des Beweises verstehe ich.
Danke für die Hilfe.
lg, hansmuff
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo hansmuff!
Zusammengefasst lautet die Ungleichung (für [mm]b_[/mm] analog):
[mm]a-a_n \ < \ \bruch{b-a}{2}[/mm]
Durch Umformen erhält man:
[mm]a \ < \ \bruch{b-a}{2}+a_n[/mm]
[mm]a-\bruch{b-a}{2}\ < \ a_n[/mm]
[mm]\bruch{2a}{2}-\bruch{b-a}{2}\ < \ a_n[/mm]
[mm]\bruch{2a-(b-a)}{2}\ < \ a_n[/mm]
[mm]\bruch{a-b}{2}\ < \ a_n[/mm]
Oha, da scheint sich in der Musterlösung jeweils ein Vorzeichenfehler einegschlichen zu haben.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Sa 06.11.2010 | | Autor: | hansmuff |
ok, vielen Dank für deine Hilfe!
... das war übrigens das Skript 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Sa 06.11.2010 | | Autor: | hansmuff |
Sorry ... ich hab doch noch mal ne Frage:
Wie rechne ich denn dann [mm] \frac{a-b}{2}>b_n [/mm] aus?
ich habe ja:
[mm] b-b_n<\frac{b-a}{2}
[/mm]
[mm] b<\frac{b-a}{2}+b_n
[/mm]
[mm] b-\frac{b-a}{2}
[mm] \frac{2b}{2}-\frac{b-a}{2}
[mm] \frac{2b-(b-a)}{2}
[mm] \frac{a+b}{2}
Also da müsste ich dann aber eigentlich auch [mm] \frac{a-b}{2} [/mm] rausbekommen. Damit ich zu einem Widerspruch komme, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
der ganze Beweis ist doch Schmarrn, wie du leicht aus den beiden Zitaten
" Satz: Es seine $ [mm] (a_n) [/mm] $ und $ [mm] (b_n) [/mm] $ zwei konvergente Folgen, so dass [mm] a_n \ge b_n [/mm] "
und
"Es folgt [mm] b_n
sehen kannst.
Der Beweis muss folgendermaßen lauten :
$ [mm] a_n-a \le |a-a_n| [/mm] $ < $ [mm] \epsilon [/mm] $ = $ [mm] \frac{b-a}{2} [/mm] $ , also (*) $ [mm] a_n<\frac{a+b}{2} [/mm] $
Zusammen mit
$ [mm] b-b_n \le |b-b_n| [/mm] $ < $ [mm] \epsilon [/mm] $ = $ [mm] \frac{b-a}{2} [/mm] $ , also (*) $ [mm] b_n>\frac{a+b}{2} [/mm] $
folgt der Widerspruch [mm] b_n>a_n.
[/mm]
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Sa 06.11.2010 | | Autor: | hansmuff |
..macht Sinn. Jetzt passt auch alles.
Dann war da wohl ein kompletter Fehler im Skript.
Danke!
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