Beweis eines Untervektorraums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Mi 20.06.2007 | | Autor: | error1 |
| Aufgabe | Ist U :={ax² + [mm] bx^{5} [/mm] | a,b R}
eine Untervektorraum?
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Hallo ich möchet wirklich nicht mit Threadseröffnungen nerven. Schreibe aber bald eine Klausur und es hakt leider noch.
Also ich weiss normalerweise wie ich die Aufgabe(nicht leer, abgeschlossen addition und multiplikation) löse aber hier blicke ich nicht durch.Hoffe ihr könnt mir wieder so schnell helfen.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Mi 20.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Man muss erst wissen in welchem Vektorraum man sich befindet, um entscheiden zu können, ob U ein UVR ist. Wegen diesem x in der Definition würde ich tippen, dass es um einen Polynom-Vektorraum geht. Und dann ein Vektorraum mit Polynomen von Grad n>=5, da ein [mm] x^5 [/mm] da ist.
Also überprüfen ob:
i) die Null in U ist,
ii) ob U unter Addition abgeschlossen ist
iii) ob U unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
Zu i): die Null im Polynom-VR 2 Grades ist [mm] 0x^2+0x+0.
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mi 20.06.2007 | | Autor: | error1 |
okey sorry das hab ich vergessen
Vektorraum W= {P| P:R->R ist ein Polynom}
wie gesagt die schritte kann ich aber ich finde irgendwie keine richtigen Ansatz um zur Lösung zu kommen.
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mi 20.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Erstmal anmerken, dass [mm] U=\{bx^5+0x^4+0x^3+ax^2+0x+0 | a,b\in\IR\}.
[/mm]
i) finde solche a und b, so dass [mm] bx^5+0x^4+0x^3+ax^2+0x+0=0x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x+0\equiv [/mm] "der Nullvektor im Polynom-VR".
ii) Die Summe [mm] (bx^5+0x^4+0x^3+ax^2+0x+0)+(cx^5+0x^4+0x^3+dx^2+0x+0) [/mm] von zwei Elementen aus U ist wieder in U, wenn es Skalre e und f [mm] \in\IR [/mm] gibt, so dass die Summe der Form [mm] ex^5+0x^4+0x^3+fx^2+0x+0 [/mm] ist.
iii) Ist [mm] \alpha*(bx^5+0x^4+0x^3+ax^2+0x+0) [/mm] mit [mm] \alpha\in\IR [/mm] ein Element von U?
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Fr 22.06.2007 | | Autor: | error1 |
okey danke.
habe noch eine weitere Frage.
Sei U ein Untervektorraum von V.Zeigen Sie, dass gilt LH(U)=U.
(LH= lineare Hülle)
Wie kann ich das zeigen?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Fr 22.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ich kenne die LH von einer Menge (als keinem VR) - das ist der von den Vektoren in dieser Menge aufgespannte VR. Falls U ein UVR ist, ist U insbesondere auch ein VR. Einerseits ist klar, dass du durch Linearkombinieren von Vektoren aus U keinen Vektor außerhalb von U kriegen kannst (U ist abgeschlossen unter Addition und skalare Multiplikation nach Definition). Durch Linearkombinieren kann man auch unmöglich weniger Vektoren kriegen als in U schon drin sind (hoffentlich kalr).
Formal [mm] U\subset [/mm] LH(U) und [mm] LH(U)\subset [/mm] U beweisen.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Fr 22.06.2007 | | Autor: | error1 |
sorry aber wie beweise ich das denn?
auch di erste frage ist mir immernoch nicht klar.
ein weiteres bsp wäre
[mm] U={x^a + x^b|a,b R}
[/mm]
das ich nicht lösen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Fr 22.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
i) [mm] LH(U)\subset [/mm] U
Sei [mm] v\in [/mm] LH(U) beliebig. Dann lässt sich v als Linearkombination von Vektoren [mm] u_{i}\in [/mm] U, oder [mm] v=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}*u_{i}. [/mm] Da U ein V-UVR ist, ist [mm] \alpha_{1}*u_{1}+\alpha_{2}*u_{2}=:w_{1}\in [/mm] U. Allgemein [mm] v=w_{k}+\sum_{i=2+k}^{n}\alpha_{i}*u_{i}. [/mm] Dabei weiß man aus der Konstruktion, dass jedes [mm] w_i [/mm] in U liegt. Weiter so steht da zum Schluss [mm] v=w_{n-1}+\alpha_{n}*u_{n}, [/mm] was auch in U liegt, da [mm] w_{n-1} [/mm] und [mm] u_n [/mm] beide aus U.
Das ist der formale Beweis, kämpf dich durch ihn durch und versuch
ii) [mm] U\subset [/mm] LH(U),
was leichter ist.
Zu deiner zweiten Frage - hast du mit R die reellen Zahlen gemeint? Wenn ja, dann geht es, soweit ich weiß, um einen VR unendlicher Dimension, da kenne ich mich nicht aus.
Gruß,
dormant
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:01 Sa 23.06.2007 | | Autor: | error1 |
hi.danke
a,b [mm] \in \IR
[/mm]
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Hallo, ich lerne auch gerade für eine Prüfung und ich habe auch Probleme mit Unterräumen.
> Erstmal anmerken, dass [mm]U=\{bx^5+0x^4+0x^3+ax^2+0x+0 | a,b\in\IR\}.[/mm]
>
> i) finde solche a und b, so dass
> [mm]bx^5+0x^4+0x^3+ax^2+0x+0=0x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x+0\equiv[/mm]
> "der Nullvektor im Polynom-VR".
>
> ii) Die Summe
> [mm](bx^5+0x^4+0x^3+ax^2+0x+0)+(cx^5+0x^4+0x^3+dx^2+0x+0)[/mm] von
> zwei Elementen aus U ist wieder in U, wenn es Skalre e und
> f [mm]\in\IR[/mm] gibt, so dass die Summe der Form
> [mm]ex^5+0x^4+0x^3+fx^2+0x+0[/mm] ist.
>
> iii) Ist [mm]\alpha*(bx^5+0x^4+0x^3+ax^2+0x+0)[/mm] mit [mm]\alpha\in\IR[/mm]
> ein Element von U?
Das ist mir klar... aber ich habe immer probleme nachzuweisen, dass diese 3 Kriterien auch zutreffen. Kann mir jemand erklären, wie ich da rangehen soll?Danke...
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> Das ist mir klar... aber ich habe immer probleme
> nachzuweisen, dass diese 3 Kriterien auch zutreffen. Kann
> mir jemand erklären, wie ich da rangehen soll?Danke...
Hallo,
durch Nachgucken:
> > Erstmal anmerken, dass [mm]U=\{bx^5+0x^4+0x^3+ax^2+0x+0 | a,b\in\IR\}.[/mm]
>
> >
> > i) finde solche a und b, so dass
> > [mm]bx^5+0x^4+0x^3+ax^2+0x+0=0x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x+0\equiv[/mm]
> > "der Nullvektor im Polynom-VR".
Und? Findest Du solche a,b [mm] \in \IR?
[/mm]
> >
> > ii) Die Summe
> > [mm](bx^5+0x^4+0x^3+ax^2+0x+0)+(cx^5+0x^4+0x^3+dx^2+0x+0)[/mm] von
Rechne die Summe aus und schau nach, ob Du sie als [mm] (...)x^5+...(x^2) [/mm] schreiben kannst.
> > iii) Ist [mm]\alpha*(bx^5+0x^4+0x^3+ax^2+0x+0)[/mm] mit [mm]\alpha\in\IR[/mm]
> > ein Element von U?
Berechne [mm] \alpha*(bx^5+0x^4+0x^3+ax^2+0x+0) [/mm] und sieh nach, ob Du es als [mm] (...)x^5+(...)x^2 [/mm] schreiben kannst.
Gruß v. Angela
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