Beweis f ist konstant < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a)
Sei $f$ definiert für alle reellen Zahlen $x$ und es gelte :
$ |f(x)-f(y)| [mm] \le (x-y)^2 [/mm] $
für alle reellen $x$ und $y$.
Man beweise, dass $f$ konstant ist
(b)
Sei f für jedes $x>0$ definiert, differenzierbar und es gelte [mm] $f'(x)\to0$ [/mm] für [mm] $x\to+\infty$. [/mm] Setze $g(x)=f(x+1)-f(x)$. Man beweise, dass [mm] $g(x)\to0$ [/mm] für [mm] $x\to+\infty$ [/mm] |
Ich habe mir die (a) angeschaut und ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe, da ich wirklich keinen Ansatz finde und auch nichts in meinem Protokoll oder meinen Vorlesungsunterlagen mir einleuchtet.
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Hallo,
> (a)
> Sei [mm]f[/mm] definiert für alle reellen Zahlen [mm]x[/mm] und es gelte :
> [mm]|f(x)-f(y)| \le (x-y)^2[/mm]
> für alle reellen [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm].
> Man beweise, dass [mm]f[/mm] konstant ist
>
> (b)
> Sei f für jedes [mm]x>0[/mm] definiert, differenzierbar und es
> gelte [mm]f'(x)\to0[/mm] für [mm]x\to+\infty[/mm]. Setze [mm]g(x)=f(x+1)-f(x)[/mm].
> Man beweise, dass [mm]g(x)\to0[/mm] für [mm]x\to+\infty[/mm]
>
> Ich habe mir die (a) angeschaut und ich habe
> Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe, da ich wirklich keinen
> Ansatz finde und auch nichts in meinem Protokoll oder
> meinen Vorlesungsunterlagen mir einleuchtet.
Das ist zwar nur eine Idee, aber vielleicht klappt's ja:
Da
$|f(x)-f(y)| [mm] \le (x-y)^2$
[/mm]
für alle [mm] x,y\in\IR [/mm] gilt, gilt auch:
$|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] |x-y|*|x-y|$.
[mm] $\Rightarrow \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \le [/mm] |x-y|$ (*)
Wenn f differenzierbar, gibt es nach dem Zwischenwertsatz nun ein [mm] \xi\in[x,y] [/mm] mit [mm] \frac{f(x)-f(y)}{x-y} [/mm] = [mm] f'(\xi), [/mm] d.h.:
[mm] $|f'(\xi)| \le [/mm] |x-y|$
mit [mm] x,y\in\IR. [/mm] Der Grenzübergang [mm] y\to [/mm] x liefert [mm] |f'(x)|\le [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) = 0.
So ungefähr könnte das aussehen. Das Problem ist, dass ich Differenzierbarkeit vorausgesetzt habe. Du solltest dir nochmal den Ausdruck ansehen und schauen, ob man daraus nicht noch was (anderes) machen kann.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> So ungefähr könnte das aussehen. Das Problem ist, dass
> ich Differenzierbarkeit vorausgesetzt habe. Du solltest dir
> nochmal den Ausdruck ansehen und schauen, ob man daraus
> nicht noch was (anderes) machen kann.
Das hatten wir erst kürzlich hier - aus dem Ausdruck folgt a) dass f diff.bar ist (betrachte für fixiertes x [m]y\to x[/m]) und b) die Ableitung 0 ist.
SEcki
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Kann das sein, dass in der Aufgabenstellung vielleicht ein ' fehlt.
Wenn es hiesse, Man beweise, dass $g'(x)=0$ für [mm] $x\to+\infty$
[/mm]
Wäre meine Idee:
$ g(x)= f(x+1)-f(x)$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$g(x) = f(x)+f(1)-f(x)$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$g(x)=f(1)$
Da gelten soll $g'(x)=0$ für [mm] $x\to+\infty$ [/mm] für [mm] $x\to+\infty$ [/mm] gilt ja dann wegen [mm] $f'(x)\to0$ [/mm] für [mm] $x\to+\infty$
[/mm]
also $g'(x)=0$
Kann das so sein ?
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Hallo,
> Kann das sein, dass in der Aufgabenstellung vielleicht ein
> ' fehlt.
Nein.
> Wenn es hiesse, Man beweise, dass [mm]g'(x)=0[/mm] für [mm]x\to+\infty[/mm]
>
> Wäre meine Idee:
>
> [mm]g(x)= f(x+1)-f(x)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]g(x) = f(x)+f(1)-f(x)[/mm]
???
Du kannst doch nicht f(x+1) = f(x) + f(1) schreiben!
Damit schließt du doch so gut wie alle Funktionen aus deinem Beweis aus.
Zum Beispiel gilt das obige nicht für f(x) = [mm] x^{2}.
[/mm]
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Wenn f differenzierbar, dann ist auch g(x) = f(x+1)-f(x) differenzierbar.
Nun ist
$g(x) = [mm] \frac{f(x+1)-f(x)}{1} [/mm] = [mm] \frac{f(x+1)-f(x)}{(x+1)-x}$
[/mm]
Nun kannst du wieder den Mittelwertsatz anwenden! Es existiert also ein [mm] \xi\in(x,x+1), [/mm] sodass
[mm] $\frac{f(x+1)-f(x)}{(x+1)-x} [/mm] = [mm] f'(\xi)$.
[/mm]
Also:
$g(x) = [mm] f'(\xi)$
[/mm]
mit [mm] \xi\in(x,x+1). [/mm] Nun benutze die Voraussetzung [mm] f'(x)\to [/mm] 0.
Grüße,
Stefan
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