Beweis f (k+1) diffb.->f gradk < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Mi 02.06.2010 | | Autor: | peter_k |
| Aufgabe | Sei [mm] \omega \subset \mathbb{R}^n [/mm] zusammenhängend und f: [mm] \omega \rightarrow \mathbb{R} [/mm] sei (k+1) -mal stetig diffbar mit [mm] D^\alpha [/mm] f=0 für alle Multiindizes [mm] \alpha [/mm] mit [mm] |\alpha|=k+1. [/mm] Dann ist f ein Polynom vom Grad k.
Hinweis: Zeigen Sie, dass zwei Polyome, die auf einer beliebigen offenen Menge übereinstimmen die gleichen Koeffizienten haben. |
Guten Abend,
also ich weiß nicht recht, wie ich bei dem Beweis vorgehen soll...
ich hätte jetzt irgendwie so angefangen:
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Seien f,g Polynome k-ter Ordnung auf einer beliebigen offenen Menge mit f=g.
z.z.: f und g haben die gleichen Koeffizienten.
Beweis:
[mm] f(x):=a_{k+1}x^k [/mm] + [mm] a_{k-1}x^{k-1} [/mm] + .... + [mm] a_2 [/mm] x + [mm] a_1
[/mm]
[mm] g(x):=b_{k+1}x^k [/mm] + [mm] b_{k-1}x^{k-1} [/mm] + .... + [mm] b_2 [/mm] x + [mm] b_1
[/mm]
Wir nehmen an, dass f und g übereinstimmen, also:
[mm] a_{k+1}x^k [/mm] + [mm] a_{k-1}x^{k-1} [/mm] + .... + [mm] a_2 [/mm] x + [mm] a_1= b_{k+1}x^k [/mm] + [mm] b_{k-1}x^{k-1} [/mm] + .... + [mm] b_2 [/mm] x + [mm] b_1
[/mm]
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Macht dieser Ansatz erstmal so Sinn? Und wenn ja, wie kann ich die Gleichheit der Koeffizienten nun zeigen?
Vielen Dank schonmal für Tips, Hinweise etc.
Peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Fr 04.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Pol. stimmen an mindestens k+1 Stellen [mm] x_i [/mm] überein. daraus resultiert ein LGS für die [mm] a_i [/mm] bzw. [mm] b_i
[/mm]
hilft dir das?
Gruss leduart
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