Beweis für Teilbarkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die natürliche Zahl x habe im dekadischen die Zifferndarstellung [mm] (ab7ab)_{10} [/mm].
Zeigen Sie: x ist für alle a,b [mm] \in \{ 0,1...9 \} [/mm] durch 7 teilbar! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Allerseits!
Ich muss gestehen, mir fehlt bei dieser Aufgabe der Ansatz.
Wenn ich mir die Darstellung anschaue, so stelle ich ja fest, dass ganz egal welche Zahlen ich für a und b einsetze, die Quersumme immer ungerade ist. An sich kann man bei der Teilbarkeit ja auch einiges mithilfe der Primfaktorzerleung machen. Aber auch damit komme ich hier nicht weiter.
Ich nehme mal an, der Beweis hier ist sicherlich nicht besonders schwer, wenn man den richtigen Ansatz hat. Nur genau der fehlt mir leider 
Kann mir hier jemand netterweise weiterhelfen???
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Hallo John-Ross,
> Die natürliche Zahl x habe im dekadischen die
> Zifferndarstellung [mm](ab7ab)_{10} [/mm].
> Zeigen Sie: x ist für
> alle a,b [mm]\in \{ 0,1...9 \}[/mm] durch 7 teilbar!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Allerseits!
>
> Ich muss gestehen, mir fehlt bei dieser Aufgabe der
> Ansatz.
> Wenn ich mir die Darstellung anschaue, so stelle ich ja
> fest, dass ganz egal welche Zahlen ich für a und b
> einsetze, die Quersumme immer ungerade ist. An sich kann
> man bei der Teilbarkeit ja auch einiges mithilfe der
> Primfaktorzerleung machen. Aber auch damit komme ich hier
> nicht weiter.
> Ich nehme mal an, der Beweis hier ist sicherlich nicht
> besonders schwer, wenn man den richtigen Ansatz hat. Nur
> genau der fehlt mir leider
>
> Kann mir hier jemand netterweise weiterhelfen???
Schreibe die Zahl [mm](ab7ab)_{10} [/mm] ausführlich auf:
[mm](ab7ab)_{10}=a*10^{4}+b*10^{3}+7*10^{2}+a*10^{1}+b*10^{0}[/mm]
Und fasse dies so zusammen, daß Du nur Summanden hast, die durch 7 teilbar sind.
Gruß
MathePower
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Vielen Dank für deine Antwort.
Allerdings stehe ich immer noch etwas auf dem Schlauch, weil ich noch nicht sehe, wie mir diese "Langform" weiterhilft.
Das einzige, was ich zusammenfassen könnte wäre ja die 10, da sie in jedem Summand vorkommt. Aber das bringt mir ja auch noch nichts, da die Teilbarkeit ja dadurch nicht bewiesen werden kann.
Generell fehlt mir hier noch die Einsicht, wie ich denn zeigen kann, dass unabhängig vom konkreten Wert für a und b ein Summand durch 7 teilbar ist oder nicht....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mo 30.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Deine Zahl lautet:
b + 10a +700 +1000b +10000a, wobei a und b zwischen 0 und 9.
Zusammengefasst ist das = 10010a + 1001b +700
Überzeuge Dich davon, dass jeder der 3 Summanden (unabh. von a und b) durch 7 teilbar ist.
FRED
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Ah, jetzt sehe ich es auch endlich
Da 10010 und 1001 durch 7 teilbar sind und a und b diese Zahlen jeweils nur vervielfachen ändert sich nichts daran, dass die Zahlen immer noch durch 7 teilbar sind. Das war ja wirklich nicht schwer...
Aber eine letzte Frage, wie würde ich diese "Erkenntnis" denn mathematisch-formal korrekt aufschreiben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Mo 30.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Klammere dann mal 7 aus, und dann argumentiere, dass 7*irgendwas auf jeden Fall durch 7 teilbar ist
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Di 01.07.2008 | | Autor: | John-Ross |
Besten Dank! 
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