Beweis für konvergente Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Sa 17.11.2007 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | | Beweisen sie für eine gegebene konvergente Zahlenfolge [mm] ({y_n}) \subset \IR [/mm] echte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] die Implikation, dass aus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_n=g [/mm] auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1/n*\summe_{k=1}^{n}y_k)=g [/mm] folgt! |
Hallo, ich habe mir dazu überlegt, dass im zweiten Grenzwert der Teil mit 1/n ja Nullfolge ist und null mal die Summe ist null, also müsste g=0 sein, mache cih da einen Denkfehler? Denn wenn es so wäre, dann wäre [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_n=g. [/mm] weil ja beide den selben Grenzwert haben. Wie kann ich zeigen, dass das wirklich stimmt, falls es stimmt? Und vor allem, wie mache ich die ImplikatIch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.ion richtig rum? Ich hab ja jetzt aus B--> A gemacht, soll aber zeigen, dass aus A-->B gilt.
Fragen über Fragen.
Danke für eure Antworten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen sie für eine gegebene konvergente Zahlenfolge
> [mm]({y_n}) \subset \IR[/mm] echte Teilmenge von [mm]\IR[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm]
> die Implikation, dass aus [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}y_n=g[/mm]
> auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1/n*\summe_{k=1}^{n}y_k)=g[/mm]
> folgt!
>
> Hallo, ich habe mir dazu überlegt, dass im zweiten
> Grenzwert der Teil mit 1/n ja Nullfolge ist und null mal
> die Summe ist null, also müsste g=0 sein, mache cih da
> einen Denkfehler?
Hallo,
ja, da machst Du einen Fehler: es könnte ja sein, daß die Summe stärker wächst als [mm] \bruch{1}{n} [/mm] fällt.
Ein Beispiel: betrachte die Folge [mm] a_n:=\bruch{1}{n} n^6, [/mm] die denkt überhaupt nicht daran, gegen Null zu gehen.
Geh' die Aufgabe so an:
Überlege Dir zunächst, was es bedeutet, daß [mm] (y_n) [/mm] gegen g konvergiert. [mm] (\varepsilon [/mm] - Krit., [mm] N(\varepsilon) [/mm] ).
Du sollst nun die Konvergenz v. [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n:=1/n*\summe_{k=1}^{n}y_k [/mm] gegen g zeigen.
Du könntest [mm] x_n [/mm] nach oben und nach unten abschätzen, verwende hierbei (und auch wenn Du es anders machst) den "Schwellenwert" [mm] N(\varepsilon). [/mm] Bedenke auch, daß konvergente Folgen beschränkt sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Di 20.11.2007 | | Autor: | dieanne |
Hallo,
also ich hab meinen Denkfehler jetzt verstanden.
Nur leider komme ich mit den Hinweisen nicht zur Lösung der Aufgabe. Ehrlich gesagt, hab ich mir schon den ganzen Tag den Kopf zerbrochen und keine Ahnung wie ich das nun machen soll. Kann bitte nochmal jemand ganz, ganz schnell helfen?
Dankeschön!
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> Nur leider komme ich mit den Hinweisen nicht zur Lösung
> der Aufgabe. Ehrlich gesagt, hab ich mir schon den ganzen
> Tag den Kopf zerbrochen und keine Ahnung wie ich das nun
> machen soll. Kann bitte nochmal jemand ganz, ganz schnell
> helfen?
Hallo,
ich weiß nicht genau, was Du mit "ganz, ganz schnell helfen " meinst.
Ich vermisse auch die Ergebnisse des Kopfzerbrechens.
Wie weit bist Du gekommen, an welcher Stelle kommst Du nicht weiter.
Was bedeutet es "epsilontechnisch" daß g der Grenzwert v. [mm] (y_n) [/mm] ist, und wie hast Du versucht, das in Deinen Lösungsversuchen unterzubringen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Di 20.11.2007 | | Autor: | dieanne |
Wir haben uns über legt, dass yn ja eine Folge ist für alle n gegen unendlich, das heißt nun aber, dass die Summe eine Summe von Folgen ist, oder? Denn es kann ja keine Summe von Folgegliedern sein, sonst wäre yn einerseits eine Folge und andererseits das n-te Folgeglied. Ist jetzt die Summe, aber eine Summe von Folgen, dann müssten alle Folgen bis yn doch gegen null gehen, damti dann yn wieder gegen g geht. Was ist dann mit dem 1/n? Irgendwie drehen wir uns im Kreis. Die
Grenzwertefinition können wir bis jetzt nur in den Zusammenhang bringen, dass sie eben für yn gilt, weil die Folge konvergent ist. Was hilft das denn für die Summe???
Schnell heißt, dass die Zeit knapp wird, denn wir müssen es noch heute Abend verstehen... Weißt du wie es geht?
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Hallo,
zur Erinnerung nochmal die Aufgabe:
>>>> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_n=g [/mm] $ ==> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1/n\cdot{}\summe_{k=1}^{n}y_k)=g [/mm] $
> Wir haben uns über legt, dass yn ja eine Folge ist für alle
> n gegen unendlich, das heißt nun aber, dass die Summe eine
> Summe von Folgen ist, oder?
Wie ich zuvor schon schrieb, ist [mm] (x_n) [/mm] mit $ [mm] x_n:=1/n\cdot{}\summe_{k=1}^{n}y_k [/mm] $ eine Folge.
Wie funktioniert die?
[mm] x_1=1/1\cdot{}y_1=y_1
[/mm]
[mm] x_2=1/2(y_1+y_2)
[/mm]
[mm] x_3=1/3(y_1+y_2+y_3)
[/mm]
[mm] \vdots.
[/mm]
Man weiß, daß lt. Voraussetzung [mm] (y_n) [/mm] gegen g konvergiert, also liegen bei vorgegebenem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ab einem [mm] N(\varepsilon)\in \IN [/mm] alls Folgenglieder dichter als [mm] \varepsilon [/mm] an g.
Nun will man zeigen, daß [mm] x_n [/mm] gegen g konvergiert.
Fürs weitere Vorgehen sehe ich zwei Möglichkeiten:
Man überlegt sich, daß [mm] x_n=1/n\cdot{}\summe_{k=1}^{n}y_k=1/n(\summe_{k=1}^{N(\varepslilon)}y_k [/mm] + [mm] \summe_{k=N(\varepslilon)+1}^{n}y_k), [/mm] schätzt (mit der zweiten Summe) unter Berücksichtigung der Konvergenz v. [mm] (y_n) [/mm] nach oben und nach unten ab und bildet dann den Grenzwert mit dem Sandwich-Theorem.
2. Möglichkeit:
Man betrachtet [mm] |x_n [/mm] - [mm] g|=|1/n\cdot{}\summe_{k=1}^{n}y_k [/mm] - [mm] g|=1/n|\summe_{k=1}^{n}y_k [/mm] - ng| und schätz das dann geeignet ab.
Gruß v. Angela
Denn es kann ja keine Summe von
> Folgegliedern sein, sonst wäre yn einerseits eine Folge und
> andererseits das n-te Folgeglied. Ist jetzt die Summe, aber
> eine Summe von Folgen, dann müssten alle Folgen bis yn doch
> gegen null gehen, damti dann yn wieder gegen g geht. Was
> ist dann mit dem 1/n? Irgendwie drehen wir uns im Kreis.
> Die
> Grenzwertefinition können wir bis jetzt nur in den
> Zusammenhang bringen, dass sie eben für yn gilt, weil die
> Folge konvergent ist. Was hilft das denn für die Summe???
> Schnell heißt, dass die Zeit knapp wird, denn wir müssen
> es noch heute Abend verstehen... Weißt du wie es geht?
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