Beweis hermitesch < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Phoebe |
Hallo,
ich habe so meine Probleme bei Beweisen, da ich nie weiß, wie ich da genau ran gehen soll und somit nie auf einen Ansatz geschweige denn eine Lösung komme. Jetzt habe ich folgende Aufgabe:
Sei A [mm] \varepsilon \IC^{q x q}. [/mm] Weisen Sie nach, dass A genau dann hermitesch ist, wenn x* A x [mm] \varepsilon \IR [/mm] für alle x [mm] \varepsilon \IC^{q} [/mm] gilt.
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Hallo!
Nach Definition ist $A$ ja gerade dann hermitesch, falls [mm] $A^\*=A$. [/mm] Der Trick ist also zu verwenden, dass [mm] $A-A^\*=0$.
[/mm]
Die Hinrichtung funktioniert so:
[mm] $A-A^\*=0$, [/mm] also gilt [mm] $x^\*Ax=x^\*A^\*x$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IC^q$. [/mm] Weil ebenfalls gilt [mm] $x^\*A^\*x=(Ax)^\*x=\overline{x^\*(Ax)}=\overline{x^\*Ax}$ [/mm] folgt damit: [mm] $x^\*Ax=\overline{x^\*Ax}$. [/mm] Also ist [mm] $\mathrm{Im}(x^\*Ax)=0$ [/mm] und damit [mm] $x^\*Ax\in\IR$.
[/mm]
Für die Rückrichtung musst du jetzt also zeigen: Aus [mm] $x^\*(A-A^\*)x$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IC^q$ [/mm] folgt [mm] $A=A^\*$. [/mm] Hast du dafür eine Idee?
Gruß, banachella
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