Beweis im Integritätsring < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei R ein Integritätsring mit |R| < [mm] \infty.
[/mm]
Zu zeigen:
Für jedes r [mm] \in [/mm] R-{0} eixstiert eine natürliche Zahl n [mm] \ge [/mm] 1 mit [mm] r^{n}=1.
[/mm]
Folgere daraus, dass R ein Körper ist. |
Hallo,
ich habe die Aufgabe gelöst. Aber am Ende komme ich nicht weiter, weil mir unklar ist, ob in R-{0} alle Nicht-Null-Elemente invertierbar sind. Ich weiß aus der Vorlesung, dass [mm] R^{x} [/mm] im Allgemeinen ungleich R-{0} ist, sondern nur eine Teilmenge. Und in [mm] R^{x} [/mm] sind ja alle Nicht-Null-Elemente invertierbar...
Zur Aufgabe:
R ist Integritätsring, also ist R kommutativer Ring (Vereinbarung vom Prof.).
Jetzt habe ich folgendes gemacht:
[mm] \produkt_{s \in R-{0}}^{}s [/mm] = (!) [mm] \produkt_{s \in R-{0}}^{}rs=rs_{1}*rs_{2}*...*rs_{n}=r^{n}s_{1}*...*s_{n}=
[/mm]
[mm] r^{n}\produkt_{r \in R-{0}}^{}s
[/mm]
Erklärung zu (!): R [mm] \to [/mm] R ist bijektiv, s [mm] \mapsto [/mm] rs und rs [mm] \mapsto r^{-1}rs=s \in [/mm] R durch Linksmultiplikation von [mm] r^{-1}.
[/mm]
Also ist [mm] \produkt_{s \in R-{0}}^{}s=r^{n}\produkt_{s \in R-{0}}^{}s
[/mm]
Definiere nun [mm] \produkt_{}^{}s [/mm] =: s'
Wenn ich jetzt von Rechts mit s'^{-1} multipliziere, dann erhalte ich genau [mm] r^{n}=1. [/mm] Aber das darf ich ja nur, wenn R ein Körper ist. Weil dann existiert ja für jedes Element außer der Null das Inverse. Ist so die Folgerung gemeint? Das ist genau ist mein Problem mit R-{0} (siehe oben).
Danke für die Hilfe.
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Do 30.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna,
> Sei R ein Integritätsring mit |R| < [mm]\infty.[/mm]
> Zu zeigen:
> Für jedes r [mm]\in[/mm] R-{0} eixstiert eine natürliche Zahl n [mm]\ge[/mm]
> 1 mit [mm]r^{n}=1.[/mm]
> Folgere daraus, dass R ein Körper ist.
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgabe gelöst. Aber am Ende komme ich nicht
> weiter, weil mir unklar ist, ob in R-{0} alle
> Nicht-Null-Elemente invertierbar sind. Ich weiß aus der
> Vorlesung, dass [mm]R^{x}[/mm] im Allgemeinen ungleich R-{0} ist,
> sondern nur eine Teilmenge. Und in [mm]R^{x}[/mm] sind ja alle
> Nicht-Null-Elemente invertierbar...
ich glaube, du denkst grad viel zu kompliziert :) Wenn du zu jedem $r [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] ein $n [mm] \ge [/mm] 1$ hast mit [mm] $r^n [/mm] = 1$, dann ist ja $r [mm] \cdot r^{n-1} [/mm] = 1 = [mm] r^{n-1} \cdot [/mm] r$, und es ist [mm] $r^{n-1} \in [/mm] R$ (da $n - 1 [mm] \ge [/mm] 0$). Also ist $r$ somit in [mm] $R^x$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo,
danke für deine Antwort. Wenn jetzt r [mm] \in R^{x} [/mm] ist, dann gilt jetzt doch [mm] R^{x}=R-{ 0 } [/mm] , oder? Weil dann ist R ein Körper.
Lg, Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Do 30.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Milka,
> danke für deine Antwort. Wenn jetzt r [mm]\in R^{x}[/mm] ist, dann
> gilt jetzt doch [mm]R^{x}=R-{ 0 }[/mm] , oder? Weil dann ist R ein
> Körper.
ja. Da $r [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] beliebig war, folgt somit [mm] $R^x [/mm] = R [mm] \setminus \{ 0 \}$.
[/mm]
LG Felix
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