Beweis induzierte Norm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Do 17.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | Im folgenden diskutieren wir die sogenannte induzierte Norm. Sei dazu [mm] \parallel.\parallel [/mm] eine beliebige Norm und A [mm] \in \IR^{nxn}. [/mm] Dann ist [mm] ||.||_{ind}: \IR^{nxn} [/mm] definiert durch
[mm] ||A||_{ind}=sup_{||x||\not= 0} \bruch{||Ax||}{||x||} [/mm]
[mm] (||x||\not= [/mm] 0 steht eigentlich unter sup)
Zeigen Sie, dass für A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] gilt
[mm] sup_{||x||\not= 0} \bruch{||Ax||}{||x||}=sup_{||x||=1}||Ax||. [/mm] |
Hallo
mir ist nicht so ganz klar, was ich denn da groß zeigen soll. Ich setze doch einfach 1 für [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] ein und schon habe ich den Beweis.
Aber so einfach kann es doch nicht sein oder :D?
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Hiho,
> mir ist nicht so ganz klar, was ich denn da groß zeigen soll.
Na die Gleichheit zweier Ausdrücke
> Ich setze doch einfach 1 für [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] ein und schon habe ich den Beweis.
Ach und wer sagt dann, dass die Ausdrücke gleich sind???
Womit du recht hast: Die beiden Ausdrücke unterscheiden sich nur über den Index des Supremums, d.h. du kannst das Supremumsargument der rechten Seite genauso schreiben wie auf der linken.
Nur links steht halt [mm] $\sup_{||x|| \not= 0}$ [/mm] und rechts [mm] $\sup_{||x|| = 1}$.
[/mm]
Ist doch sehr verwunderlich, dass da das Gleiche herauskommen soll, oder nicht?
Wenn dir das so "klar" ist, könnte ich ja auch einfach schreiben:
[mm] $\sup_{||x|| \not= 0} [/mm] ||x|| = [mm] \sup_{||x||= 1} [/mm] ||x|| = 1$ und schon hätten alle Vektoren maximal die Norm 1.
Stimmt das denn?
Mach dir mal noch klar, dass der Ausdruck ||Ax|| bei dir ja auch von x abhängt!!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Do 17.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
Hallo
vielen Dank so weit.
Wie gehe ich denn dann vor, das zu beweisen. Ich habe mal versucht, bisschen umzuformen. Aber ich bleibe an folgender Stelle stecken:
[mm] \sup_{||x|| \not= 0}\bruch{||Ax||}{||x||} [/mm] = [mm] \sup_{||x|| \not= 0}||\bruch{Ax}{||x||}||
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Boki87,
> Wie gehe ich denn dann vor, das zu beweisen. Ich habe mal
> versucht, bisschen umzuformen. Aber ich bleibe an folgender
> Stelle stecken:
>
> [mm]\sup_{||x|| \not= 0}\bruch{||Ax||}{||x||}[/mm] = [mm]\sup_{||x|| \not= 0}||\bruch{Ax}{||x||}||[/mm]
[mm] $=\sup_{\|x\| \ne 0} \left\|A{x \over \|x\|}\right\|$, [/mm] A wird also auf Vektoren der Norm 1 losgelassen.
Gruß,
Wolfgang
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
Hallo
Ich glaube ich habe ein grundlegendes Verständnisproblem. Was ist denn der Unterschied zwischen [mm] \sup_{\|x\| \ne 0} \left\|A{x \over \|x\|}\right\| [/mm] und [mm] \sup_{\|x\| \ne 0} \left\|{Ax \over \|x\|}\right\|?
[/mm]
Und was meinst du mit "A wird also auf Vektoren der Norm 1 losgelassen"?
Falls du eine Quelle wo das beschrieben ist hast, wäre das super. Habe nur ein handschriftliches Skript, dass mir nicht weiterhilft und meine Suche im Internet war bisher leider vergebens :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo
>
> Ich glaube ich habe ein grundlegendes Verständnisproblem.
> Was ist denn der Unterschied zwischen [mm]\sup_{\|x\| \ne 0} \left\|A{x \over \|x\|}\right\|[/mm]
> und [mm]\sup_{\|x\| \ne 0} \left\|{Ax \over \|x\|}\right\|?[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Und was meinst du mit "A wird also auf Vektoren der Norm 1
> losgelassen"?
Was ich meine ist:
$\bigl\{ \bigl\|A({x/\|x\|)\bigr\|\colon \|x\|\ne 0\bigr\} = \bigl\{\bigl\|A(y)\bigr\|\colon \|y\|=1\bigr\}\,.$
Und daraus folgt die Gleichheit der Suprema.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Sorry, aber wieso folgt aus $ \bigl\{ \bigl\|A({x/\|x\|)\bigr\|\colon \|x\|\ne 0\bigr\} = \bigl\{\bigl\|A(y)\bigr\|\colon \|y\|=1\bigr\}\,. $
die Gleichheit der Suprema? Mir ist leider nicht klar, was du in dem Schritt machst.
Sehe ich denn dem \bruch{x}{\parallel x \parallel} etwas besonderes an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:42 Fr 18.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, aber wieso folgt aus [mm]\bigl\{ \bigl\|A({x/\|x\|)\bigr\|\colon \|x\|\ne 0\bigr\} = \bigl\{\bigl\|A(y)\bigr\|\colon \|y\|=1\bigr\}\,.[/mm]
>
> die Gleichheit der Suprema? Mir ist leider nicht klar, was
> du in dem Schritt machst.
Sind M und N Teilmengen von [mm] \IR [/mm] und gilt M=N, so ist, man glaubt es kaum:
sup M=sup N.
>
> Sehe ich denn dem [mm]\bruch{x}{\parallel x \parallel}[/mm] etwas
> besonderes an?
Berechne doch mal die Norm von [mm]\bruch{x}{\parallel x \parallel}[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
Gilt denn dann auch [mm] \sup_{\|x\| \ne 0} [/mm] M = [mm] \sup_{\|x\| = 1} [/mm] N? Diese Indizes verwirren mich einfach nur. Die sind doch nichts weiteres als eine Einschränkung oder?
Zur Berechnung von [mm] \bruch{x}{\parallel x \parallel}:
[/mm]
Ich nehme einfach mal den Vektor x = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel=x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3}
[/mm]
Und dann wäre [mm] \bruch{x}{\parallel x \parallel}= [/mm] x = [mm] \vektor{\bruch{x_{1} }{x_{1} + x_{2} + x_{3}} \\ \bruch{x_{2} }{x_{1} + x_{2} + x_{3}} \\ \bruch{x_{3} }{x_{1} + x_{2} + x_{3}}}.
[/mm]
Was sehe ich denn jetzt daraus?
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Hiho,
> Ich nehme einfach mal den Vektor x = [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm]
>
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel=x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm]
[mm] \notok
[/mm]
||x|| ist (solange nicht irgendwas vorgegeben ist) irgendeine Norm von x.
Das was du hingeschrieben hast, ist nichtmal eine Norm.
Warum nicht?
Welche Normen kennst du denn?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
Ich dachte es wäre die Summennorm. Ich habe die Formel [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{p}=(\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^p)^\bruch{1}{p} [/mm] benutzt und für p=1 verwendet?!
Ich kenne noch die Euklidische Norm, die Maximumnorm, Induzierte Matrixnorm und Induzierte 2-Norm.
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Hiho,
> Ich dachte es wäre die Summennorm. Ich habe die Formel [mm]\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel_{p}=(\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^p)^\bruch{1}{p}[/mm] benutzt und für p=1 verwendet?!
Dann mach das bitte nochmal richtig!
Da kommt NICHT [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] raus, sondern?
> Ich kenne noch die Euklidische Norm, die Maximumnorm,
> Induzierte Matrixnorm und Induzierte 2-Norm.
Ok, auch wenn das für die Aufgabe nur bedingt eine Rolle spielt 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
> Dann mach das bitte nochmal richtig!
> Da kommt NICHT [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] raus, sondern?
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{p}=(\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^p)^\bruch{1}{p}
[/mm]
für p=1
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1}=(\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|^1)^\bruch{1}{1}
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel=\summe_{i=1}^{n}|x_{i}|
[/mm]
Und meine Norm sind dann die Beträge der einzelnen Vektoreinträge addiert, richtig?
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Hiho,
> Und meine Norm sind dann die Beträge der einzelnen Vektoreinträge addiert, richtig?
Ja. Nur hattest du das nicht da stehen 
MFG,
Gono.
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Hiho,
neben Freds Tipp dir mal die Norm von [mm] \bruch{x}{||x||} [/mm] anzugucken, solltest du dir vielleicht auch mal überlegen, warum
[mm] $\bruch{Ax}{||x||} [/mm] = [mm] A\bruch{x}{||x||}$ [/mm] denn überhaupt gilt.
Darum mal die Frage an dich: Warum gilt das?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
Ich glaube du hast mein Problem richtig erkannt :)
Ist denn bei [mm] \bruch{Ax}{||x||} [/mm] = [mm] A\bruch{x}{||x||} [/mm] nicht wie bei jedem anderen Bruch, dass man den Zähler auch von den Bruch schreiben kann?
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Hiho,
> Ich glaube du hast mein Problem richtig erkannt :)
> Ist denn bei [mm]\bruch{Ax}{||x||}[/mm] = [mm]A\bruch{x}{||x||}[/mm] nicht
> wie bei jedem anderen Bruch, dass man den Zähler auch von den Bruch schreiben kann?
Und da haben wir mal dein Problem: Was ist denn A?
Heißer Tip: A ist keine Konstante!
Da steht letztlich sowas wie:
[mm] $\bruch{A(x)}{||x||} [/mm] = [mm] A\left(\bruch{x}{||x||}\right)$
[/mm]
Und jetzt du wieder.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
A ist eine nxn Matrix mit Elemente aus [mm] \IR. [/mm] Wobei Ax dann ein Vektor wird. Und es ist egal ob ich zuerst Ax berechne und dann durch [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] teile oder ob ich zuerst x durch [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] teile und das ganze dann mal A nehme. Wobei A beides mal links stehen muss. Ist das richtig so?
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Hiho,
deine Erklärung ist ok.
Ein kleiner Tipp noch: Sieh A mal nur bedingt als Matrix, sondern vielmehr gleich als beliebige lineare Abbildung. Das hilft dir für später. Im [mm] \IR^n [/mm] ist das natürlich äquivalent.
Ok, wir haben nun also schonmal, dass wir das umstellen können d.h. dass gilt:
[mm] $\bruch{Ax}{||x||} [/mm] = [mm] A\bruch{x}{||x||}$
[/mm]
Das schreiben wir nun der Einfachheit halber mal als $Ay, [mm] y=\bruch{x}{||x||}$.
[/mm]
Was ist nun ||y|| ?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
> Das schreiben wir nun der Einfachheit halber mal als [mm]Ay, y=\bruch{x}{||x||}[/mm].
>
> Was ist nun ||y|| ?
Ich benutze folgender Formel abgeleitet aus der p-Norm für p=1:
[mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel=\summe_{i=1}^{n}|y_{i}|
[/mm]
Soll ich da jetzt noch irgendwie [mm] y=\bruch{x}{||x||} [/mm] einsetzen oder in Abhängigkeit von y lassen?
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Hiho,
> Ich benutze folgender Formel abgeleitet aus der p-Norm für p=1:
Das kannst du machen, um eine IDEE zu bekommen, der gesamte Beweis sollte aber für beliebige Normen funktionieren.
>
> [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel=\summe_{i=1}^{n}|y_{i}|[/mm]
>
> Soll ich da jetzt noch irgendwie [mm]y=\bruch{x}{||x||}[/mm]
> einsetzen oder in Abhängigkeit von y lassen?
Du sollst explizit mal ausrechnen, welche Norm y hat. Da kommt eine Zahl raus (und zwar eine ganz bestimmte, wichtige für deinen Beweis).
Also wirst du wohl mal einsetzen müssen und gucken, was da so rauskommt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
> Du sollst explizit mal ausrechnen, welche Norm y hat. Da
> kommt eine Zahl raus (und zwar eine ganz bestimmte,
> wichtige für deinen Beweis).
> Also wirst du wohl mal einsetzen müssen und gucken, was
> da so rauskommt.
Also ich setze dann ein:
[mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}|\bruch{x}{\parallel x \parallel}|= \summe_{i=1}^{n}|\bruch{x}{\summe_{i=1}^{n}|x|}|
[/mm]
Ist das denn richtig? Weil ich weiß absolut nicht, wie ich daraus auf eine Zahl kommen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Sa 19.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Du sollst explizit mal ausrechnen, welche Norm y hat. Da
> > kommt eine Zahl raus (und zwar eine ganz bestimmte,
> > wichtige für deinen Beweis).
> > Also wirst du wohl mal einsetzen müssen und gucken,
> was
> > da so rauskommt.
>
> Also ich setze dann ein:
>
> [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n}|\bruch{x}{\parallel x \parallel}|= \summe_{i=1}^{n}|\bruch{x}{\summe_{i=1}^{n}|x|}|[/mm]
>
> Ist das denn richtig? Weil ich weiß absolut nicht, wie ich
> daraus auf eine Zahl kommen soll.
||*|| sollte doch eine beliebige Norm auf [mm] \IR^n [/mm] sein !!
wir setzen [mm] a:=\bruch{1}{\parallel x \parallel} [/mm] und berechnen $||a*x||$:
[mm] $||a*x||=|a|*||x||=\bruch{1}{\parallel x \parallel}*||x||=1$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
Ok wenn ich jetzt nochmal zusammenfasse, wie weit ich bin:
[mm] \sup_{||x|| \not= 0}\bruch{||Ax||}{||x||} [/mm] = [mm] \sup_{\|x\| \ne 0} \left\|{1 \over \|x\|}Ax\right\|=\sup_{\|x\| \ne 0} \left\|A{x \over \|x\|}\right\| [/mm] und ich möchte zeuge, dass es [mm] \sup_{||x|| = 1}||Ax|| [/mm] entspricht.
Und ich habe die Erkenntnis:
[mm] \left\|{x \over \|x\|}\right\|=\bruch{1}{|\parallel x \parallel |}\parallel [/mm] x [mm] \parallel=\bruch{1}{\parallel x \parallel}\parallel [/mm] x [mm] \parallel=1
[/mm]
Ich kann jetzt [mm] \sup_{\|x\| \ne 0} \bruch{1}{\parallel x \parallel} \left\|Ax\right\| [/mm] bilden, habe aber jetzt das vom Anfang stehen. Und das A darf ich ja nicht rausziehen.
Was muss ich denn hier: [mm] \sup_{\|x\| \ne 0} \left\|A{x \over \|x\|}\right\| [/mm] umformen, damit ich sehe, dass ein Teil 1 wird und nur noch Ax stehen bleibt?
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Hiho,
> Was muss ich denn hier: [mm]\sup_{\|x\| \ne 0} \left\|A{x \over \|x\|}\right\|[/mm]
> umformen, damit ich sehe, dass ein Teil 1 wird und nur noch
> Ax stehen bleibt?
schreiben wir das mal einfach ein bisschen anders:
[mm] $\sup_{\|x\| \ne 0} \left\|A{x \over \|x\|}\right\| [/mm] = [mm] \sup\left\{\left\|A{x \over \|x\|}\right\|, \|x\| \not= 0\right\}$
[/mm]
Und jetzt mach dir mal klar, dass folgende Mengengleichheit gilt:
[mm] $\left\{\left\|A{x \over \|x\|}\right\|, \|x\| \not= 0\right\} [/mm] = [mm] \left\{\left\|Ay\right\|, \|y\| = 1\right\}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
> Und jetzt mach dir mal klar, dass folgende Mengengleichheit
> gilt:
>
> [mm]\left\{\left\|A{x \over \|x\|}\right\|, \|x\| \not= 0\right\} = \left\{\left\|Ay\right\|, \|y\| = 1\right\}[/mm]
Das leuchtet mir jetzt ein.
[mm] y=\bruch{x}{\parallel x \parallel}
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel =\left\|\bruch{x}{\parallel x \parallel}\right\|=1
[/mm]
[mm] \sup_{||x|| \not= 0}\bruch{||Ax||}{||x||}=\sup_{\|x\| \ne 0} \left\|{1 \over \|x\|}Ax\right\|=\sup_{\|x\| \ne 0} \left\|A{x \over \|x\|}\right\|=\sup_{||y|| = 1}||Ay|| [/mm] für [mm] y=\bruch{x}{\parallel x \parallel}.
[/mm]
Und wie mache ist jetzt aus dem y ein x damit ich auf [mm] \sup_{||x|| = 1}||Ax|| [/mm] komme? Ich muss ja zeigen [mm] \sup_{||x|| \not= 0}\bruch{||Ax||}{||x||}=\sup_{||x|| = 1}||Ax||.
[/mm]
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Hiho,
> [mm]\sup_{||x|| \not= 0}\bruch{||Ax||}{||x||}=\sup_{\|x\| \ne 0} \left\|{1 \over \|x\|}Ax\right\|=\sup_{\|x\| \ne 0} \left\|A{x \over \|x\|}\right\|=\sup_{||y|| = 1}||Ay||[/mm]
> für [mm]y=\bruch{x}{\parallel x \parallel}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und wie mache ist jetzt aus dem y ein x damit ich auf
> [mm]\sup_{||x|| = 1}||Ax||[/mm] komme? Ich muss ja zeigen
> [mm]\sup_{||x|| \not= 0}\bruch{||Ax||}{||x||}=\sup_{||x|| = 1}||Ax||.[/mm]
Variablenbezeichnungen sind Schall und Rauch.....
Ob du eine Variable jetzt $y, [mm] \xi, \sigma, \rho, \mu$ [/mm] oder eben x nennst, ist völlig egal
D.h. es gilt natürlich [mm] $\sup_{||y|| = 1}||Ay|| [/mm] = [mm] \sup_{||x|| = 1}||Ax||$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Boki87 |
Vielen Dank für die ganzen Erklärungen :)
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