Beweis invertierbare Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo alle zusammen!
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
A = [mm] (a_{i,j}) \in M_{n}(\IC) [/mm] sei eine Matrix für die gilt:
[mm] \left| a_{i,i} \right| [/mm] > [mm] \summe_{j\not=i} \left| a_{i,j} \right|
[/mm]
Ich soll zeigen, dass diese Matrix invertierbar ist.
Als Hinweis ist gegeben, dass man sich die Linearkombinationen der Spalten angucken oder induktiv vorgehen soll.
Es sollen also die Koeffizienten mit zwei identischen Indizes größer sein als die Summe aller Koeffizienten ohne identische Indizes.
Eine Matrix ist dann invertierbar, wenn ihre Spaltenvektoren linear unabhängig sind.
Irgendwie finde ich keinen Ansatz um diese Aufgabe zu lösen. Kann mir jemand dabei behilflich sein?
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Fr 14.12.2007 | | Autor: | GorkyPark |
Hallo!
Hast du schon etwas über die Trigonalisierbarkeit von Matrizen gehört? Oder seid ihr noch nicht soweit gekommen?
Idee wäre folgende:
Man kann über [mm] \IC [/mm] jede Matrix trigonalisieren. Die Spur verändert sich aber bei einem Basiswechsel nicht. Auf der Diagonale stehen die Eigenwerte, welche aber alle nach Voraussetzung, nicht 0 sind. Die Matrix ist in Zeilen-Stufen-Form und damit sieht man sofort dass die Determinante =0 ist. Also invertierbar.
Ich nehme aber an, dass du diesen Stoff noch nicht gesehen hast :-(
Tschüss
GP
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Blech |
> Hallo alle zusammen!
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> Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
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> A = [mm](a_{i,j}) \in M_{n}(\IC)[/mm] sei eine Matrix für die gilt:
> [mm]\left| a_{i,i} \right|[/mm] > [mm]\summe_{j\not=i} \left| a_{i,j} \right|[/mm]
>
> Ich soll zeigen, dass diese Matrix invertierbar ist.
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> Als Hinweis ist gegeben, dass man sich die
> Linearkombinationen der Spalten angucken oder induktiv
> vorgehen soll.
Die Matrix ist invertierbar, wenn es keinen Vektor [mm] $x\neq [/mm] 0$ gibt, so daß $Ax=0$. (Wenn wir die Matrix mit einem Vektor multiplizieren, kriegen wir eine Linearkombination der Spalten)
Angenommen es gäbe aber so einen Vektor x, dann ist $y:= [mm] \frac{x}{\| x\|_\infty}$ [/mm] (d.h. x normiert, so daß der maximale Koeffizient genau 1 ist) auch im Kern von A.
Und jetzt führst Du $Ay=0$ für strikt diagonaldominante Matrizen, wie Du sie hier hast, zu einem Widerspruch.
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Hallo!
Erstmal danke für die Tipps!
Ich habe jetzt einmal versucht Ay= 0 auf einen Widerspruch zu führen. Hierzu habe ich die Matrix A mit dem Vektor y multipliziert:
[mm] \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & ... & ... & a_{1,j} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{i,1} & ... & ... & ... & ... & a_{i,j} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... \\ y_n \end{pmatrix} [/mm] = 0
Aus dieser Multiplikation erhalte ich folgende Linearkombinationen:
[mm] a_{1,1}y_1 [/mm] + [mm] a_{1,2}y_2 [/mm] + ... + [mm] a_{1,j}y_j [/mm] = 0
[mm] a_{2,1}y_1 [/mm] + [mm] a_{2,2}y_2 [/mm] + ... + [mm] a_{2,j}y_j [/mm] = 0
...
...
...
[mm] a_{i,1}y_1 [/mm] + [mm] a_{i,2}y_2 [/mm] + ... [mm] a_{i,j} [/mm] = 0
Damit muss ich also folgendes homogenes lineares Gleichungssystem lösen bzw. zeigen, dass dies keine Lösung hat:
[mm] \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & ... & ... & a_{1,j} & 0 \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & 0 \\ a_{i,1} & ... & ... & ... & ... & a_{i,j} & 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Nun gerate ich allerdings wieder ins Stocken. Nach Voraussetzung soll ja [mm] \left| a_{i,i} \right| [/mm] > [mm] \summe_{j\not=i} \left| a_{i,j} \right| [/mm] gelten. Also ist ja jeweils 1 Koeffizient in jeder Linearkombination größer als die Summe aller anderen zusammen. Kann man das z.B. so auf einen Widerspruch führen:
[mm] a_{1,1}y_1 [/mm] + [mm] a_{1,2}y_2 [/mm] + ... + [mm] a_{1,j}y_j [/mm] = 0
--> [mm] a_{1,2}y_2 [/mm] + ... + [mm] a_{1,j}y_j [/mm] = [mm] -a_{1,1}y_1
[/mm]
--> - [mm] \bruch{a_{1,2}y_2 + ... + a_{1,j}y_j}{y_1} [/mm] = [mm] a_{1,1}
[/mm]
Ich weiß allerdings nicht, wo genau hier der Widerspruch liegt. Wäre toll, wenn mir nochmal jemand helfen könnte!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Sa 15.12.2007 | | Autor: | Blech |
Wir haben ja x normiert, damit ist [mm] $|y_i|\leq [/mm] 1$, wobei es mindestens ein i mit [mm] $|y_i|=1$ [/mm] gibt. Jetzt mußt Du nur noch eine geeignete Zeile betrachte, für die Du dann die [mm] $y_i$ [/mm] in Deiner Gleichung passend abschätzen kannst.
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Da ich mit Normen nicht wirklich vertraut bin, weiß ich nicht so wirklich worauf du hinaus willst. Kann es sein, dass ich darauf stoßen muss, dass zwei Einträge der Koeffizientenmatrix von Ay in einer Spalte identisch sein müssen? Damit wäre ja dann die Determinante = 0 und die Matrix invertierbar.
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Hallöchen,
gucke mal hier...
ich glaube, das hilft weiter.
Grüsse,
Grig.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 So 16.12.2007 | | Autor: | n8-11e |
Aber wie soll das denn funktionieren mit dem [mm] \lambda [/mm] m := max { [mm] \lambda [/mm] i, [mm] 1\le i\le [/mm] n}?
ich meine es gibt doch gar keine Ordnung auf C?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 So 16.12.2007 | | Autor: | Blech |
> ich meine es gibt doch gar keine Ordnung auf C?
Dann versuch den Beweis, sinngemäß auf [mm] $\IC$ [/mm] zu übertragen. Ist nicht schwer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Kreide |
mmh, versteh trotzdem nicht wie man auf
[mm] \lambda [/mm] m := max { [mm] \lambda [/mm] i, [mm] 1\le i\le [/mm] n}
kommt.....
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> mmh, versteh trotzdem nicht wie man auf
>
> [mm]\lambda[/mm] m := max { [mm] ]\lambda [/mm] i, [mm] 1\le i\le [/mm] n}
> kommt.....
>
Hallo,
ich habe mir GrigoriCaligaris Dokument nicht heruntergeladen, aber das, was dort oben steht, ist doch einfach eine Definition.
Man sagt: das größte der [mm] \lambda_i [/mm] soll [mm] \lambda_m [/mm] heißen.
Da hier anscheinend komplexe Zahlen im Spiel sind, ist es sicher sinnvoll zu sagen: das betragsgrößte der [mm] \lambda_i [/mm] soll [mm] \lambda_m [/mm] heißen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 So 16.12.2007 | | Autor: | Kreide |
wieso wird am ende des beweises rg(A)=n erwähnt, es reicht doch zu wissen, dass die [mm] a_i [/mm] 's linear unabhäning sind
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Hallo,
im Grunde genommen hast du recht. Is halt ein bißerl vollständiger...
grüsse,
Grigori.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mo 17.12.2007 | | Autor: | bonni |
den Beweis hab ich jetzt so einigermaßen verstanden.
Doch wenn ich ihn in den komplexen zahlen anwenden will, dann bekomm ich ein paar probleme...
Reicht es wenn ich [mm] \lambda_m [/mm] anders definiere also:
[mm] \lambda_m [/mm] := |max { [mm] \lambda_i [/mm] , [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n } |
meiner meinung nach stimmt dann der Beweis, wenn ich den Rest übernehme...oder muss ich noch irgendetwas beachten?
Bin dankbar um jede Hilfe 
grüße bonni
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> Reicht es wenn ich [mm]\lambda_m[/mm] anders definiere also:
>
> [mm]\lambda_m[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= |max { [mm]\lambda_i[/mm] , [mm]1\le[/mm] i [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n } |
Hallo,
warum willst Du \lambda_m anders definieren?
Das hat doch einen Grund.
Bist Du mit Deiner obigen Definition das Problem los?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mo 17.12.2007 | | Autor: | bonni |
ich definiere ja das lambda anders weil ich in den komplexen zahlen keine ordung habe.
Ist meine deinition von dem lanbda überhaupt richtig?
In dem oben aufgeführten beweis müsste ich doch dann von anfang an Betragsstriche setzen oder?
vielen dank für die hilfe!!!
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> ich definiere ja das lambda anders weil ich in den
> komplexen zahlen keine ordung habe.
> Ist meine deinition von dem lanbda überhaupt richtig?
Ist sie sinnvoll?
Hast Du das Problem mit der nichtvorhandenen Ordnung auf [mm] \IC [/mm] gelöst mit dem, was Du definierst?
Was ist das Ziel beim Herausstellen des [mm] \lambda_m, [/mm] was bezweckst Du damit?
> In dem oben aufgeführten beweis müsste ich doch dann von
> anfang an Betragsstriche setzen oder?
In der Def. der linearen Unabhängigkeit kommen meines Wissens keine Betragsstriche vor.
Also: nein.
Gruß v. Angela
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Darf man einfach so davon ausgehen, dass das größte [mm] \lambda [/mm] auch tatsächlich beim [mm] a_{i,i} [/mm] liegt? was ist denn wenn es nicht da liegt?
oder macht das für den Beweis keinen unterschied?
Vielen Dank schonmal im Voraus
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> Darf man einfach so davon ausgehen, dass das größte [mm]\lambda[/mm]
> auch tatsächlich beim [mm]a_{i,i}[/mm] liegt? was ist denn wenn es
> nicht da liegt?
???
Wenn [mm] \lambda_m [/mm] das betragsgrößte ist, schaut man doch die m-te Zeile an, so daß [mm] \lambda_m [/mm] vor dem [mm] a_m_m [/mm] zu stehen kommt.
Gruß v. Angela
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autsch.. jetzt schäm ich mich für die Frage ^^
klar logisch ^^ danke :)
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