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Forum "Algebra" - Beweis kommutativ Diagramm
Beweis kommutativ Diagramm < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis kommutativ Diagramm: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Fr 26.09.2008
Autor: Giorda_N

Aufgabe
Es sind irgendwelche Mengen A, B, C, D gegeben, sowie Abbildung a: A [mm] \to [/mm] B, x [mm] \mapsto [/mm] a(x) ; b: A [mm] \to [/mm] C, x [mm] \mapsto [/mm] b(x) ; c: B [mm] \to [/mm] D, x [mm] \mapsto [/mm] c(x) ; d: C [mm] \to [/mm] D, x [mm] \mapsto [/mm] d(x), die die Gleichung c [mm] \circ [/mm] a = d [mm] \circ [/mm] b erfüllen. (Dann folgt ein graphisch dargestelltes kommutativ Diagramm, dass ich hier nicht wiedergeben kann)

Zeigen Sie, dass dann gilt: (b bijektiv [mm] \wedge [/mm] c bijektiv) [mm] \Rightarrow [/mm] ( a injektiv [mm] \gdw [/mm] d injektiv)
(in wort: sind b und c bijektiv, so ist a genau dann injektiv, wenn d es ist)

Hallo liebe Mathe-Studenten,

habt Ihr eine Idee wie ich diesen Beweis formulieren muss?
Wenn ich mir das durchdenke, dann ist es für mich logisch, aber ich kann es einfach nicht mathe-gerecht aufs Papier bringen.

Any idea?

vielen lieben Dank

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis kommutativ Diagramm: Bild einfügen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Fr 26.09.2008
Autor: Loddar

Hallo Giorda,

[willkommenmr] !!


Wie man hier im Forum ein Bild hochlädt, kannst Du hier nachlesen.
Ich denke mal, dass dieses schon zum Helfen vonnöten ist ...


Gruß
Loddar




Bezug
        
Bezug
Beweis kommutativ Diagramm: Bild
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Fr 26.09.2008
Autor: ArthurDayne

Das wollte ich so oder so mal testen, daher hier:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Beweis kommutativ Diagramm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:35 Fr 26.09.2008
Autor: Giorda_N

vielen Dank für das Diagramm :-)

Bezug
        
Bezug
Beweis kommutativ Diagramm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Fr 26.09.2008
Autor: ArthurDayne

Hallo,

ich mache dir mal die eine Richtung vor. Es gilt [mm] $c\circ a=d\circ [/mm] b$, weiterhin sind b und c bijektiv. Sei nun a injektiv. Wähle [mm] $c_1,c_2\in [/mm] C$ mit [mm] $c_1\neq c_2$. [/mm] Wir wollen zeigen, dass daraus folgt [mm] $d(c_1)\neq d(c_2)$, [/mm] also die Injektivität von d.

Aus der Bijektivität von b folgt, dass [mm] $a_1,a_2\in [/mm] A$ mit [mm] $a_1\neq a_2$ [/mm] existieren, so dass [mm] $b(a_1)=c_1\neq c_2=b(a_2)$. [/mm]
Jetzt nutzen wir aus, dass a injektiv ist, damit folgt aus der Ungleichheit [mm] $a_1\neq a_2$ [/mm] direkt [mm] $a(a_1)\neq a(a_2).$ [/mm] Aus der Bijektivität von c und der Voraussetzung [mm] $c\circ a=d\circ [/mm] b$ folgt:

[mm] $d(c_1)=d(b(a_1))=(d\circ b)(a_1)=(c\circ a)(a_1)=c(a(a_1))\neq c(a(a_2))=(c\circ a)(a_2)=(d\circ b)(a_2)=d(b(a_2))=d(c_2)$, [/mm]

womit die Injektivität von d bewiesen wäre.

Viel Glück bei der zweiten Richtung :-)

Bezug
                
Bezug
Beweis kommutativ Diagramm: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 Sa 27.09.2008
Autor: Giorda_N

super vielen dank, jetzt ist es mir logisch (diese richtung :-))

habe nun die gegenrichtung versucht, analog zur anderen richtung. kann es sein dass diese gegenrichtung weniger kompliziert ist?
so ist jedenfalls mein lösungsweg :-)

Bezug
                        
Bezug
Beweis kommutativ Diagramm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:05 Sa 27.09.2008
Autor: ArthurDayne



Hallo,

kommt drauf an, was du damit meinst, es ist ein bisschen einfacher (hätte ich mal vorher nachgedacht vor dem Tippen, hätte ich die andere Richtung vorgemacht ;-)), da man nicht den Schritt: "weil b injektiv ist, existieren a1, a2 usw." machen muss.

Bezug
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