Beweis kompakter Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Mo 07.05.2012 | | Autor: | math1987 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Menge
M [mm] ={(x,y)∈R×Z|(x−1)^2 +(y−1)^2 ≤4, y≥0}
[/mm]
nichtleer und kompakt ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich möchte gerne die oben aufgeführte Aufgabenstellung beweisen.
Meine Idee wäre folgende:
Da beispielsweise x=3 und y=1 beide Bedingungen an die Menge M erfüllen, ist (x,y)=(3,1) ein zulässiges Element der Menge M und somit ist M auch eine nichtleere Menge.
Kompakte Mengen sind im [mm] R^2 [/mm] solche, die abgeschlossen und beschränkt sind.
Beschränktheit: Durch Umformen der Kreisgleichung erhält man [mm] (x-1)^2-(y-1)^2+4 [/mm] >=0. Mit y>=0 folgt, dass M nach unten gegen 0 beschränkt ist. Ebenso kann man ziegen, dass M nach oben gegen 4 beschränkt ist.
Abgeschlossenheit: Hier habe ich die meisten Probleme. Die Kreisgleichung ist ja stetig. Deshalb dachte ich, dass alle Folgen aus M gegen einen Grenzwert in M konvergieren (wie kann man das zeigen?). Und daraus folgt die Abgeschlossenheit?!
Für Hilfen wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße
Sebastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Menge
> M [mm]={(x,y)∈R×Z|(x-1)^2 +(y-1)^2 ≤4, y≥0}[/mm]
Eijeijei, wer soll das lesen können. Dem Quelltext entnehme ich:
M [mm]=\{(x,y)\in \IR \times \IZ|(x-1)^2 +(y-1)^2 \le 4, y \ge 0\}[/mm]
>
> nichtleer und kompakt ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen,
>
> ich möchte gerne die oben aufgeführte Aufgabenstellung
> beweisen.
>
> Meine Idee wäre folgende:
>
> Da beispielsweise x=3 und y=1 beide Bedingungen an die
> Menge M erfüllen, ist (x,y)=(3,1) ein zulässiges Element
> der Menge M und somit ist M auch eine nichtleere Menge.
O.K.
>
> Kompakte Mengen sind im [mm]R^2[/mm] solche, die abgeschlossen und
> beschränkt sind.
Ja.
>
> Beschränktheit: Durch Umformen der Kreisgleichung erhält
> man [mm](x-1)^2-(y-1)^2+4[/mm] >=0. Mit y>=0 folgt, dass M nach
> unten gegen 0 beschränkt ist. Ebenso kann man ziegen, dass
> M nach oben gegen 4 beschränkt ist.
M ist eine Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] !! Dahe sind die Begriffe "nach oben beschränkt" und "nach unten beschränkt" sinnlos !!
M ist doch enthalten in der abgeschlossenen Kreisscheibe um (0,0) mit Radius 2. Daher ist M beschränkt.
>
> Abgeschlossenheit: Hier habe ich die meisten Probleme. Die
> Kreisgleichung ist ja stetig.
Eine Funktion ist stetig (oder nicht). Bei Gleichungen hat der Begriff "stetig" keinen Sinn.
> Deshalb dachte ich, dass alle
> Folgen aus M gegen einen Grenzwert in M konvergieren (wie
> kann man das zeigen?).
Na ja. Zeige: ist [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] eine konvergente Folge in M , so gehört auch der GW dieser Folge zu M.
FRED
> Und daraus folgt die
> Abgeschlossenheit?!
>
> Für Hilfen wäre ich sehr dankbar.
>
> Viele Grüße
> Sebastian
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mo 07.05.2012 | | Autor: | math1987 |
Hallo Fred,
danke für deine schnelle Hilfe.
Ich hätte noch eine Frage zur Abgeschlossenheit.
Der Beweis mit der Folge will mir nicht so richtig gelingen.
Könnte ich auch alternativ zeigen, dass das Komplement von M offen und deshalb M abgeschlossen ist?
Viele Grüße,
Sebastian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für deine schnelle Hilfe.
> Ich hätte noch eine Frage zur Abgeschlossenheit.
> Der Beweis mit der Folge will mir nicht so richtig
> gelingen.
Wo klemmts denn ?
> Könnte ich auch alternativ zeigen, dass das Komplement
> von M offen und deshalb M abgeschlossen ist?
Ja, das kannst Du machen. Meiner Meinung nach ist das aber nicht einfacher.
FRED
>
> Viele Grüße,
> Sebastian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Mo 07.05.2012 | | Autor: | math1987 |
Hallo Fred,
du hast Recht. Das mit der Offenheit hat leider doch nicht so funktioniert wie ich mir es vorgestellt habe.
Leider hänge ich immer noch an der Aufgabe fest und hoffe du kannst mir noch einmal einen Tipp geben.
Wenn ich doch ((xn, yn)) als Folge nehmen, z.B. mit GW [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}xn [/mm] -> x und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}yn [/mm] -> y. Daraus folgt dann doch, dass [mm] xn^2+yn^2 [/mm] <=4?
Oder bin ich hier wieder komplett falsch unterwegs?
Wenn ich mir die Ungleichung anschaue dürften die Folgen ja auch wieder nur gegen 2 konvergieren, sonst wäre die Ungleichung ja nicht erfüllt.
Gruß,
Sebastian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:41 Di 08.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> du hast Recht. Das mit der Offenheit hat leider doch nicht
> so funktioniert wie ich mir es vorgestellt habe.
>
> Leider hänge ich immer noch an der Aufgabe fest und hoffe
> du kannst mir noch einmal einen Tipp geben.
>
> Wenn ich doch ((xn, yn)) als Folge nehmen, z.B. mit GW
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}xn[/mm] -> x und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}yn[/mm] -> y. Daraus folgt dann doch,
> dass [mm]xn^2+yn^2[/mm] <=4?
Nein. Es ist
(*) [mm] (x_n-1)^2+(y_n-1)^2 \le [/mm] 4
und zwar deswegen, weil [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] eine Folge aus M ist.
> Oder bin ich hier wieder komplett falsch unterwegs?
> Wenn ich mir die Ungleichung anschaue dürften die Folgen
> ja auch wieder nur gegen 2 konvergieren,
Ich verstehe nicht, was Du damit meinst.
Aus (*) folgt: [mm] (x-1)^2+(y-1)^2 \le [/mm] 4
Jetzt mußt Du nur noch zeigen: y [mm] \ge [/mm] 0 und y [mm] \in \IZ.
[/mm]
FRED
> sonst wäre die
> Ungleichung ja nicht erfüllt.
>
> Gruß,
> Sebastian
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