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Hallo liebe Community  ,
ich habe eine [mm] $\IR$-lineare [/mm] Abbildung gegeben [mm] A:\IR^{2}\to\IR^{2} [/mm] mit [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] , [mm] a,b,c,d\in\IR
[/mm]
[mm] A_{\IC}:\IC\to\IC [/mm] wird definiert durch:
[mm] A_{\IC}(x+iy)=ax+by+i(cx+dy)
[/mm]
Folgende Aussagen sollen äquivalent sein:
1) [mm] A_{\IC} [/mm] ist [mm] \IC-linear, [/mm] d.h. [mm] \exists \lambda\in\IC, [/mm] so dass [mm] A_{\IC}(z)=\lambda [/mm] z [mm] \forall z\in\IC
[/mm]
2) [mm] \exsits \alpha,\beta\in\IR, [/mm] so dass [mm] A=\pmat{ \alpha & -\beta \\ \beta& \alpha}
[/mm]
Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich hier rangehen soll. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen ?
Beste Grüße
Kano
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Da fehlt wohl in (1) ein [mm]\lambda[/mm]. Es muß
(*) [mm]A_{\mathbb{C}} (z) = \lambda z[/mm]
heißen.
Nimm an, daß (1) erfüllt ist, und wähle in (*) speziell [mm]z = 1[/mm] bzw. [mm]z = \operatorname{i}[/mm]. Vergleiche das damit, was man bekommt, wenn man die Definition der Abbildung [mm]A_{\mathbb{C}}[/mm] auf [mm]z=1[/mm] bzw. [mm]z= \operatorname{i}[/mm] anwendet.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Mo 11.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Da fehlt wohl in (1) ein [mm]\lambda[/mm]. Es muß
>
> (*) [mm]A_{\mathbb{C}} (z) = \lambda z[/mm]
>
> heißen.
korrekt - es stand auch fast so da, nur wurde lambda ohne b in der Formel
geschrieben. Ich habe das mal für alle sichtbar gemacht, indem ich es
korrigiert habe!
Gruß,
Marcel
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Ja, da fehlt ein [mm] \lambda! [/mm] Danke
Ok. Ich glaube, ich habe es verstanden und versuche es mal.
Sei z=1. Also [mm] z=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] A_{\IC}(1)=\pmat{ a & b \\ c & d }\vektor{1\\0}=\vektor{a\\c}=(a+ic)*1=(a+i*c)*z
[/mm]
Sei z=i
[mm] A_{\IC}(i)=\pmat{ a & b \\ c & d }\vektor{0\\1}=\vektor{b\\d}=b+i*d=(d-i*b)*i=(d-i*b)*z
[/mm]
Der Vergleich mit der Definition liefert:
[mm] A_{\IC}(z)=\pmat{ a & b \\ c & d }\vektor{x\\y}=\vektor{ax+by\\cx+dy}=\underbrace{(a+i*c)}_{A_{\IC}(1)}*x+\underbrace{(b+d*i)}_{A_{\IC}(i)}*y
[/mm]
D.h.
[mm] A_{\IC}(z)=A_{\IC}(1)*x+A_{\IC}(i)*y
[/mm]
Damit müsste ja eigentlich gezeigt sein, dass [mm] A_{\IC} \IC-linear [/mm] ist, oder?
Um die Äquivalenz der Aussagen zu zeigen, müsste man doch sagen:
Es gilt:
[mm] A(1)=\pmat{ \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha}*\vektor{1\\0}=(\alpha+\beta*i)*1=(\alpha+\beta*i)*z
[/mm]
[mm] A(i)=\pmat{ \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha}*\vektor{0\\1}=-\beta+\alpha*i=(\alpha+\beta*i)*i=(\alpha+\beta*i)*z
[/mm]
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
[mm] A(z)=\pmat{ \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha}*\vektor{x\\y}=\alpha*x-\beta*y+(\beta*x+\alpha*y)*i=\underbrace{(\alpha+\beta*i)}_{A(1)}*x+\underbrace{(\alpha+\beta*i)*i}_{A(i)}*y
[/mm]
D.h man sieht:
A(i)=i*A(1)
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Wegen A(i)=i*A(1) müsste auch gelten: [mm] A_{\IC}(i)=i*A_{\IC}(1)
[/mm]
Deswegen
[mm] A_{\IC}(i)=\pmat{ a & b \\ c & d }\vektor{0\\1}=b+i*d
[/mm]
[mm] i*A_{\IC}(1)=i*\vektor{a\\c}=-c+i*a
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert:
[mm] \alpha=a=d
[/mm]
[mm] \beta=b=-c
[/mm]
Ich hoffe das geht so? Über eine Rückmeldung würde ich mich echt freuen
Liebe Grüße
Kano
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Hey, Danke für deine Antwort Fred
Also mal gucken.
[mm] A(x+i*y)=\pmat{ \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha }*\vektor{x\\y}=(\alpha*x-\beta*y)+i*(\beta*x+\alpha*y)=(\alpha+\beta*i)*(x+i*y)
[/mm]
[mm] A(1)=\alpha+\beta*i=\lambda [/mm] und [mm] A(i)=-\beta+i*\alpha=(\alpha+i*\beta)*i=\lambda*i
[/mm]
D.h. Wenn A die Gestalt [mm] A=\pmat{ \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha } [/mm] hat, ist [mm] \lambda=\alpha+i*\beta
[/mm]
Also ist
[mm] A(x+i*y)=(\alpha*x-\beta*y)+i*(\beta*x+\alpha*y)=(\alpha+\beta*i)*(x+i*y)=\lambda*(x+i*y)
[/mm]
Und da wir angenommen haben, dass [mm] \alpha=a [/mm] und a=d, und [mm] \beta=-b [/mm] und c=-b, müssten wir doch zusammen mit deinen vorherigen Anmerkungen fertig sein?
Beste Grüße
Kano
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Mo 18.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hey, Danke für deine Antwort Fred
>
> Also mal gucken.
>
> [mm]A(x+i*y)=\pmat{ \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha }*\vektor{x\\y}=(\alpha*x-\beta*y)+i*(\beta*x+\alpha*y)=(\alpha+\beta*i)*(x+i*y)[/mm]
>
> [mm]A(1)=\alpha+\beta*i=\lambda[/mm] und
> [mm]A(i)=-\beta+i*\alpha=(\alpha+i*\beta)*i=\lambda*i[/mm]
>
> D.h. Wenn A die Gestalt [mm]A=\pmat{ \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha }[/mm]
> hat, ist [mm]\lambda=\alpha+i*\beta[/mm]
Ja
>
> Also ist
>
> [mm]A(x+i*y)=(\alpha*x-\beta*y)+i*(\beta*x+\alpha*y)=(\alpha+\beta*i)*(x+i*y)=\lambda*(x+i*y)[/mm]
>
> Und da wir angenommen haben, dass [mm]\alpha=a[/mm] und a=d, und
> [mm]\beta=-b[/mm] und c=-b, müssten wir doch zusammen mit deinen
> vorherigen Anmerkungen fertig sein?
Ja
FRED
>
> Beste Grüße
> Kano
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