Beweis konvergente Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Sei [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine monoton wachsende Folge reeller Zahlen. Diese Folge besitze eine Cauchy-Folge als Teilfolge [mm] (x_{n_{k}})_{k \in \IN}. [/mm] Zeigen Sie: Die Folge [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] ist konvergent. |
Guten Tag,
komme bei der obigen Aufgabe nicht weiter.
Die Teilfolge ist eine Cauchy Folge d.h sie ist konvergent und besitzt somit einen Grenzwert a. Nun soll ich zeigen, dass a auch der Grenzwert von [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] ist.
Nun ist [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] monoton wachsend und somit ist auch die Teilfolge monoton wachsend. Wenn ich mir das bildlich vorstelle ist mir die Aussage absolut klar. Aber ich habe keine Ahnung wie ich dies auf mathematischen Weg löse.Hat jemand einen Tipp für mich?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei a der Grenzwert von $ [mm] (x_{n_{k}})_{k \in \IN} [/mm] $
Wir geben ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] vor und erhalten wegen der Konvergenz von $ [mm] (x_{n_{k}})_{k \in \IN} [/mm] $ ein K [mm] \in \IN [/mm] mit:
(*) [mm] $-\varepsilon [/mm] < [mm] x_{n_{k}}-a< \varepsilon$ [/mm] füt k [mm] \ge [/mm] K
Setze [mm] n_0:= n_{K}
[/mm]
Nun sei n [mm] \ge n_0. [/mm] Wähle dazu ein [mm] K_1>K [/mm] mit n < [mm] n_{K_1} [/mm] (warum geht das ?)
Zeige jetzt:
[mm] $-\varepsilon [/mm] < [mm] x_n-a< \varepsilon$ [/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für deine Hilfe.
> Sei a der Grenzwert von [mm](x_{n_{k}})_{k \in \IN}[/mm]
>
>
> Wir geben ein [mm]\varepsilon>0[/mm] vor und erhalten wegen der
> Konvergenz von [mm](x_{n_{k}})_{k \in \IN}[/mm] ein K [mm]\in \IN[/mm]
> mit:
>
> (*) [mm]-\varepsilon < x_{n_{k}}-a< \varepsilon[/mm] füt k [mm]\ge[/mm] K
>
> Setze [mm]n_0:= n_{K}[/mm]
>
> Nun sei n [mm]\ge n_0.[/mm] Wähle dazu ein [mm]K_1>K[/mm] mit n < [mm]n_{K_1}[/mm]
> (warum geht das ?)
[mm] K_1 [/mm] lässt sich beliebig wählen, es muss nur gelten [mm] K_1>K. [/mm] Dann lässt sich aufgrund der Monotonie [mm] K_1 [/mm] so wählen, dass n < [mm] n_{K_1}. [/mm]
> Zeige jetzt:
>
> [mm]-\varepsilon < x_n-a< \varepsilon[/mm]
Es gilt nach Vorraussetzung: [mm] -\varepsilon [/mm] < [mm] x_n-a [/mm] < [mm] x_{n_{k}}-a [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] da [mm] K_1 [/mm] > K ist und n < [mm] n_{K_1}.
[/mm]
Ist das so korrekt?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Hilfe.
> > Sei a der Grenzwert von [mm](x_{n_{k}})_{k \in \IN}[/mm]
> >
> >
> > Wir geben ein [mm]\varepsilon>0[/mm] vor und erhalten wegen der
> > Konvergenz von [mm](x_{n_{k}})_{k \in \IN}[/mm] ein K [mm]\in \IN[/mm]
> > mit:
> >
> > (*) [mm]-\varepsilon < x_{n_{k}}-a< \varepsilon[/mm] füt k [mm]\ge[/mm] K
> >
> > Setze [mm]n_0:= n_{K}[/mm]
> >
> > Nun sei n [mm]\ge n_0.[/mm] Wähle dazu ein [mm]K_1>K[/mm] mit n < [mm]n_{K_1}[/mm]
> > (warum geht das ?)
> [mm]K_1[/mm] lässt sich beliebig wählen, es muss nur gelten
> [mm]K_1>K.[/mm] Dann lässt sich aufgrund der Monotonie [mm]K_1[/mm] so
> wählen, dass n < [mm]n_{K_1}.[/mm]
Unsinn ! Die Folge [mm] (n_k) [/mm] ist streng wachesnd.
> > Zeige jetzt:
> >
> > [mm]-\varepsilon < x_n-a< \varepsilon[/mm]
>
> Es gilt nach Vorraussetzung: [mm]-\varepsilon[/mm] < [mm]x_n-a[/mm] <
> [mm]x_{n_{k}}-a[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] da [mm]K_1[/mm] > K ist und n < [mm]n_{K_1}.[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Nein, schlampig !
Es ist für n [mm] \ge n_K [/mm] und mit obigem [mm] K_1:
[/mm]
[mm] $\varepsilon< x_{n_K}-a \le x_n-a \le x_{n_{K_1}}-a< \varepsilon$
[/mm]
FRED
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank. :)
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