Beweis lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 So 29.05.2016 | | Autor: | brover |
| Aufgabe 1 | Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
(a) Die Abbildung f: [mm] \IZ_{2}^{2} \to \IZ_{2}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ist [mm] \IZ_{2}-linear [/mm] |
| Aufgabe 2 | (b) Die Abbildung f: [mm] \IR^2 \to \IR, [/mm] f(x,y) [mm] \mapsto [/mm] xy ist [mm] \IR-linear [/mm] in beiden Komponenten, d.h. für jedes a [mm] \in \IR [/mm] sind die folgenden Funktionen [mm] \IR-linear:
[/mm]
f(*,a): [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x,a),
f(a,*): [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(a,x), |
Zu (a) mein Ansatz evtl. Lösung:
f: [mm] \IZ_{2}^{2} \to \IZ_{2}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ist linear, da:
1. Sei [mm] (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}) \in \IZ_{2}^{2}. [/mm] Also gilt:
[mm] f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})) [/mm]
= [mm] f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}) [/mm]
= [mm] (x_{1}+x_{2})^2 [/mm] + [mm] (y_{1}+y_{2})^2 [/mm]
= [mm] (x_{1}^2 [/mm] + [mm] 2*x_{1}*x_{2} [/mm] + [mm] x_{2}^2) [/mm] + [mm] (y_{1}^2 [/mm] + [mm] 2*y_{1}*y_{2} [/mm] + [mm] y_{2}^2) [/mm]
= [mm] (x_{1}^2 [/mm] + [mm] 0*x_{1}*x_{2} [/mm] + [mm] x_{2}^2) [/mm] + [mm] (y_{1}^2 [/mm] + [mm] 0*y_{1}*y_{2} [/mm] + [mm] y_{2}^2) [/mm]
= [mm] (x_{1}^0 [/mm] + [mm] x_{2}^0) [/mm] + [mm] (y_{1}^0 [/mm] + [mm] y_{2}^0)
[/mm]
= (1 + 1) + 1 + 1)
= 2 + 2 = 0 + 0
= 0
= 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 = 0 + 0
= [mm] x_{1}^0 [/mm] + [mm] x_{2}^0 [/mm] + [mm] y_{1}^0 [/mm] + [mm] y_{2}^0
[/mm]
= [mm] x_{1}^2 [/mm] + [mm] x_{2}^2 [/mm] + [mm] y_{1}^2 [/mm] + [mm] y_{2}^2
[/mm]
[mm] =f(x_{1},x_{2}) [/mm] + [mm] f(y_{1},y_{2})
[/mm]
2. Sei [mm] \lambda \in [/mm] K und (x,y) [mm] \in \IZ_{2}^{2}. [/mm] Dann gilt:
[mm] f(\lambda [/mm] *(x,y))
= [mm] f(\lambda *x,\lambda*y)
[/mm]
= [mm] (\lambda *x)^2 [/mm] + [mm] (\lambda *y)^2
[/mm]
= [mm] (\lambda *x)^0 [/mm] + [mm] (\lambda *y)^0
[/mm]
= 1 + 1 = 2
= 0
= 0 * [mm] \lambda
[/mm]
= 2 * [mm] \lambda
[/mm]
= [mm] \lambda [/mm] * 1+ [mm] \lambda [/mm] * 1
= [mm] \lambda [/mm] * [mm] x^0 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] y^0
[/mm]
= [mm] \lambda [/mm] * [mm] x^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] y^2
[/mm]
= [mm] \lambda* (x^2 [/mm] + [mm] y^2)
[/mm]
= [mm] \lambda [/mm] * f(x,y)
Somit ist es linear.
zu c)
Ist nicht linear, da:
f(3*(1,a)) = f(3,3a) = 3*3a = 9a [mm] \not= [/mm] 3a = 3*1a = 3* f(1,a)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 So 29.05.2016 | | Autor: | schotti |
bei a) zeigst du f((x1,y1)+(x2,y2))=f(x1,x2)+f(y1,y2) statt f((x1,y1)+(x2,y2))=f(x1,y1)+f(x2,y2). ich denke aber, du kannst deine rechnung schnell korrigieren. einfach die quadrate nach dem wegfall des gemischten gliedes etwas umsortieren... (und alle die zeilen in der mitte einfach weglassen)
bei b) (ich nehme an, du meinst b) statt c)...) musst du doch linearität zweier funktionen R->R zeigen. du machst aber irgendwas mit einer funktion [mm] R^2 [/mm] -> R. ich würde meinen, die beiden funktionen x -> x*a und x -> a*x sind schon ziemlich linear...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 29.05.2016 | | Autor: | brover |
Oh ja danke (a) war dann ja fast richtig.
Und ja das sollte (b) heißen.
Also zu b wäre meine Lösung dann:
Ist linear, da:
Für f(*,a):
1. Seien [mm] x_{1},x_{2} \in \IR. [/mm] Also gilt:
[mm] f(x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}) [/mm]
= [mm] f(x_{1} [/mm] + [mm] x_{2},a)
[/mm]
= [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}) [/mm] * a
= [mm] x_{1} [/mm] * a + [mm] x_{2} [/mm] * a
= [mm] f(x_{1},a) [/mm] + [mm] f(x_{2},a)
[/mm]
= [mm] f(x_{1}) [/mm] + [mm] f(x_{2})
[/mm]
2. Sei [mm] \lambda \in [/mm] K und x [mm] \in \IR. [/mm] D.g.:
[mm] f(\lambda*x) [/mm]
= [mm] f(\lambda*x,a) [/mm]
= [mm] \lambda*x*a
[/mm]
= [mm] \lambda* [/mm] f(x,a)
= [mm] \lambda [/mm] * f(x)
Und das ganze Analog für f(a,*) nur die Positionen vertauscht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 So 29.05.2016 | | Autor: | schotti |
bei 1. und 2. noch jeweils die erste und die letzte zeile weglassen, dann sieht's gut aus. (sonst machst du ein kuddelmuddel mit einem f, welches dann für verschiedene funktionen stehen würde.) und allenfalls würde ich mich sogar getrauen, anstelle deiner rechnungen irgendwas in der art von "dass die funktionen x -> ax und x -> xa linear sind, ist trivial"...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 29.05.2016 | | Autor: | hippias |
Die Rechnung ist nicht richtig, denn [mm] $a^{2}= a^{0}= [/mm] 1$ für beliebiges [mm] $a\in \IZ_{2}$ [/mm] gilt nicht. Beachte, dass der Exponent kein Element von [mm] $\IZ_{2}$ [/mm] ist, sondern nur als abkürzende Schreibweise benutzt wird.
Versuche also die Quadrate anders zu vereinfachen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 So 29.05.2016 | | Autor: | brover |
Ich wüsste nicht, wie ich die Quadrate so vereinfach kann, dass gilt:
$ [mm] (\lambda \cdot{}x)^2 [/mm] $ + $ [mm] (\lambda \cdot{}y)^2 [/mm] $
= [mm] \lambda^2 [/mm] * [mm] (x^2+y^2)
[/mm]
=
= $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] (x^2 [/mm] $ + [mm] $y^2 [/mm] $)
= $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ + $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] y^2 [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:37 Mo 30.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich wüsste nicht, wie ich die Quadrate so vereinfach kann,
> dass gilt:
>
> [mm](\lambda \cdot{}x)^2[/mm] + [mm](\lambda \cdot{}y)^2[/mm]
> = [mm]\lambda^2[/mm] *
> [mm](x^2+y^2)[/mm]
> =
> = [mm]\lambda[/mm] * [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2 [/mm])
> = [mm]\lambda[/mm] * [mm]x^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]y^2[/mm]
Wenn $a [mm] \in \IZ_2$, [/mm] so gibts für a nicht besonders viele Möglichkeiten.
Schau Dir damit [mm] a^2 [/mm] an.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Mo 30.05.2016 | | Autor: | brover |
Also a kann 0 oder 1 sein. Und dann folgt, dass entweder
Mit a = 0:
$ [mm] (\lambda \cdot{}x)^2 [/mm] $ + $ [mm] (\lambda \cdot{}y)^2 [/mm] $
= $ [mm] \lambda^2 [/mm] $ * $ [mm] (x^2+y^2) [/mm] $
= $ [mm] \lambda^2 [/mm] $ * (0 +0)
= $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] (x^2 [/mm] $ + $ [mm] y^2 [/mm] $)
= $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ + $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] y^2 [/mm] $
Mit a = 1:
$ [mm] (\lambda \cdot{}x)^2 [/mm] $ + $ [mm] (\lambda \cdot{}y)^2 [/mm] $
= $ [mm] \lambda^2 [/mm] $ * $ [mm] (x^2+y^2) [/mm] $
= $ [mm] \lambda^2 [/mm] $ * (1 + 1)
= $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] (x^2 [/mm] $ + $ [mm] y^2 [/mm] $)
= $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ + $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] y^2 [/mm] $
So richtig?
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Hallo,
mir ist gerade nicht ganz klar, was Du tun willst...
Du willst ja zeigen, daß [mm] f(\lambda(x,y))=\lambda [/mm] f(x,y) ist für alle [mm] \lambda, x,y\in \IZ_2.
[/mm]
[mm] f(\lambda(x,y))
[/mm]
[mm] =f(\lambda [/mm] x, [mm] \lambda [/mm] y)
[mm] =(\lambda x)^2+ (\lambda y)^2
[/mm]
[mm] =\lambda^2x^2+\lambda^2y^2
[/mm]
= ???
Nun überlege Dir, was mit [mm] \lambda^2 [/mm] ist.
Für [mm] \lambda=0 [/mm] hat man [mm] \lambda^2=0,
[/mm]
für [mm] \lambda=1 [/mm] hat man [mm] \lambda^2=1.
[/mm]
Also bekommt man
[mm] =\lambda x^2+\lambda y^2
[/mm]
= und nun weiter
LG Angela
> Also a kann 0 oder 1 sein. Und dann folgt, dass entweder
>
> Mit a = 0:
> [mm](\lambda \cdot{}x)^2[/mm] + [mm](\lambda \cdot{}y)^2[/mm]
> = [mm]\lambda^2[/mm] *
> [mm](x^2+y^2)[/mm]
> = [mm]\lambda^2[/mm] * (0 +0)
> = [mm]\lambda[/mm] * [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2 [/mm])
> = [mm]\lambda[/mm] * [mm]x^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]y^2[/mm]
>
> Mit a = 1:
> [mm](\lambda \cdot{}x)^2[/mm] + [mm](\lambda \cdot{}y)^2[/mm]
> = [mm]\lambda^2[/mm] *
> [mm](x^2+y^2)[/mm]
> = [mm]\lambda^2[/mm] * (1 + 1)
> = [mm]\lambda[/mm] * [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2 [/mm])
> = [mm]\lambda[/mm] * [mm]x^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]y^2[/mm]
>
> So richtig?
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