Beweis lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Mi 02.06.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper, V,W zwei K-Vektorräume, und f,g: V [mm] \to [/mm] W lineare Abbildungen. Sei [mm] \alpha \in [/mm] K. Zeige, dass auch f + g: V [mm] \to [/mm] W, v [mm] \mapsto [/mm] f(v)+g(v) und [mm] \alpha [/mm] f: V [mm] \to [/mm] W, v [mm] \mapsto \alpha [/mm] f(v) lineare Abbildungen sind. |
Meine Lösung sieht so aus:
(i) f+g:
zu zeigen: f+g(ax+y) = a [mm] \cdot [/mm] f+g(x) + f+g(y) , [mm] x,y\in [/mm] V
[mm] \underbrace{f(ax+y)+g(ax+y)}_{=f+g(ax+y)} [/mm] = a [mm] \cdot [/mm] f(x) + f(y) + a [mm] \cdot [/mm] g(x) + g(y) = a [mm] \underbrace{f(x)+g(x)}_{f+g(x)} [/mm] + [mm] \underbrace{f(y)+g(y)}_{f+g(y)}
[/mm]
Da f und g linear sind, gilt das erste Gleichheitszeichen.
(ii) [mm] \alpha [/mm] f: [mm] (\alpha [/mm] f der Einfachheit halber hier h)
zu zeigen: h(ax+y) = a [mm] \cdot [/mm] h(x)+ h(y)
h(ax+y) = [mm] \alpha \cdot [/mm] (a [mm] \cdot [/mm] f(x)+f(y)) = a [mm] \cdot \alpha \cdot [/mm] f(x) + [mm] \alpha \cdot [/mm] f(y) = a [mm] \cdot [/mm] h(x)+ h(y)
2. Gleichheitszeichen gilt wegen f linear.
Ist diese Lösung so korrekt und komplett?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Mi 02.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei K ein Körper, V,W zwei K-Vektorräume, und f,g: V [mm]\to[/mm]
> W lineare Abbildungen. Sei [mm]\alpha \in[/mm] K. Zeige, dass auch f
> + g: V [mm]\to[/mm] W, v [mm]\mapsto[/mm] f(v)+g(v) und [mm]\alpha[/mm] f: V [mm]\to[/mm] W, v
> [mm]\mapsto \alpha[/mm] f(v) lineare Abbildungen sind.
> Meine Lösung sieht so aus:
> (i) f+g:
>
> zu zeigen: f+g(ax+y) = a [mm]\cdot[/mm] f+g(x) + f+g(y) , [mm]x,y\in[/mm] V
Hier solltest Du Klammern setzen:
(f+g)(ax+y) = a [mm]\cdot[/mm](f+g)(x) + (f+g)(y) , [mm]x,y\in[/mm] V
>
> [mm]\underbrace{f(ax+y)+g(ax+y)}_{=f+g(ax+y)}[/mm] = a [mm]\cdot[/mm] f(x) +
> f(y) + a [mm]\cdot[/mm] g(x) + g(y) = a
> [mm]\underbrace{f(x)+g(x)}_{f+g(x)}[/mm] +
> [mm]\underbrace{f(y)+g(y)}_{f+g(y)}[/mm]
Wieder: Klammern setzen !!
> Da f und g linear sind, gilt das erste
> Gleichheitszeichen.
>
>
> (ii) [mm]\alpha[/mm] f: [mm](\alpha[/mm] f der Einfachheit halber hier h)
>
> zu zeigen: h(ax+y) = a [mm]\cdot[/mm] h(x)+ h(y)
>
> h(ax+y) = [mm]\alpha \cdot[/mm] (a [mm]\cdot[/mm] f(x)+f(y)) = a [mm]\cdot \alpha \cdot[/mm]
> f(x) + [mm]\alpha \cdot[/mm] f(y) = a [mm]\cdot[/mm] h(x)+ h(y)
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> 2. Gleichheitszeichen gilt wegen f linear.
Nein: 1. Gleichheitszeichen gilt wegen f linear.
FRED
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> Ist diese Lösung so korrekt und komplett?
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