Beweis lineare Einfachregressi < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 So 01.01.2012 | | Autor: | jolli1 |
| Aufgabe | [mm] y_i= \beta_1 +\beta_2x_i [/mm] + [mm] \epsilon_i
[/mm]
Zeigen Sie, dass gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \epsilon_i [/mm] ²= [mm] \summe_{i=1}^{n}y_i² [/mm] - [mm] \beta_1Dach\summe_{i=1}^{n} y_i [/mm] - [mm] \beta_2Dach \summe_{i=1}^{n}y_ix_i
[/mm]
Hinweis: [mm] \summe_{i=1}^{n} \epsilon_i [/mm] = 0 und [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i\epsilon_iDach [/mm] =0 |
Hey Ihr Lieben,
ich hab ein paar mal hin und herprobiert und eingesetzt, aufgelöst, aber die Terme wurden immer länger und ich hab das Gefühl, dass ich auf dem völlig falschen Weg bin. Ich komm einfach nicht darauf, wie ich das so umformen kann, dass ich mit dem angegebenen Hinweis etwas anfangen kann.
Ich wär um jeden Tipp dankbar
vielen Dank vorab
jolli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 So 01.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Leider kann *ich* das nicht entziffern. Was ist z.B. [mm] $x_{ii}$?
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 So 01.01.2012 | | Autor: | jolli1 |
Herzlichen Dank für den hinweis, ich hoffe, man kanns jetzt entziffern;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 So 01.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
mit [mm] \epsilon_i=y_i-\beta_1-\beta_2*x_i [/mm] gilt
[mm] \epsilon_1^2=\epsilon_i*(y_i-\beta_1-\beta_2*x_i)=\epsilon_i*y_i-\beta_1*\epsilon_i-\beta_2*x_i*\epsilon_i
[/mm]
wegen der Voraussetzung folgt
[mm] \summe_{i=1}^{n}\epsilon_1^2=\summe_{i=1}^{n}\epsilon_i*y_i=\summe_{i=1}^{n}\left(y_i^2-\beta_1*y_i-\beta_2*x_i*y_i\right)
[/mm]
Das ist die Behauptung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Mo 02.01.2012 | | Autor: | jolli1 |
Hey, vielen lieben Dank für die schnelle Antwort.
Eine Frage: wie kommst du auf das hier?
>
> [mm][mm] \summe_{i=1}^{n}\epsilon_1^2=\summe_{i=1}^{n}\epsilon_i*y_i
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mo 02.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
es gilt ja
(*) [mm] \epsilon_1^2=\epsilon_i\cdot{}(y_i-\beta_1-\beta_2\cdot{}x_i)=\epsilon_i\cdot{}y_i-\beta_1\cdot{}\epsilon_i-\beta_2\cdot{}x_i\cdot{}\epsilon_i
[/mm]
wie ich geschrieben habe.
Wegen
(**) [mm] \summe_{i=1}^{n} \epsilon_i=0 [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i\epsilon_i=0
[/mm]
folgt
[mm] \summe_{i=1}^{n} \epsilon_i^2=\summe_{i=1}^{n}\epsilon_i\cdot{}y_i-\beta_1\cdot{}\summe_{i=1}^{n}\epsilon_i-\beta_2\cdot{}\summe_{i=1}^{n}x_i\cdot{}\epsilon_i
[/mm]
Berücksichtigung von (**) ergibt die Behauptung.
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