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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Beweis linearer Unabhängigkeit
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Beweis linearer Unabhängigkeit: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Mi 21.01.2015
Autor: Canibusm

Aufgabe
In einem mindestens 2-dimensionalen linearen Raum M seien Vektoren a und b gegeben. Es sei bekannt, dass die Vektoren u := a + b und v := a − b linear unabhängig sind. Zeigen Sie, dass dann auch die Vektoren a und b selbst linear unabhängig sind.

Die Vektoren u und v heißen LU, wenn gilt:

[mm] \alpha_{1}*u [/mm] + [mm] \alpha_{2}*v [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \alpha_{1} [/mm] = [mm] \alpha_{2} [/mm] = 0

Eingesetzt: [mm] \alpha_{1}*(a+b) [/mm] + [mm] \alpha_{2}*(a-b) [/mm] = 0

...

[mm] a(\alpha_{1}+\alpha_{2}) [/mm] + [mm] b(\alpha_{1}-\alpha_{2}) [/mm] = 0


Ich komme mit der Definition irgendwie nicht weiter. Bin ich auf dem richtigen Weg oder muss ich einen anderen Ansatz wählen?

        
Bezug
Beweis linearer Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Mi 21.01.2015
Autor: fred97


> In einem mindestens 2-dimensionalen linearen Raum M seien
> Vektoren a und b gegeben. Es sei bekannt, dass die Vektoren
> u := a + b und v := a − b linear unabhängig sind. Zeigen
> Sie, dass dann auch die Vektoren a und b selbst linear
> unabhängig sind.
>  Die Vektoren u und v heißen LU, wenn gilt:
>  
> [mm]\alpha_{1}*u[/mm] + [mm]\alpha_{2}*v[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \alpha_{1}[/mm] =
> [mm]\alpha_{2}[/mm] = 0
>  
> Eingesetzt: [mm]\alpha_{1}*(a+b)[/mm] + [mm]\alpha_{2}*(a-b)[/mm] = 0
>  
> ...
>  
> [mm]a(\alpha_{1}+\alpha_{2})[/mm] + [mm]b(\alpha_{1}-\alpha_{2})[/mm] = 0
>  
>
> Ich komme mit der Definition irgendwie nicht weiter. Bin
> ich auf dem richtigen Weg oder muss ich einen anderen
> Ansatz wählen?

Ja. Zu zeigen ist: a und b sind linear unabhängig.

Seien also [mm] \alpha, \beta [/mm] Elemente des zugrunde liegenden Körpers und

(*)   [mm] $\alpha*a+ \beta [/mm] *b=0$.

Zeigen sollst Du: [mm] \alpha= \beta=0. [/mm]

Mach Dir klar, dass gilt:

   a= [mm] \bruch{1}{2}(u+v) [/mm]   und   b= [mm] \bruch{1}{2}(u-v). [/mm]

Setze dies in (*) ein und verwende, dass u und v linear unabhängig sind.

FRED


Bezug
                
Bezug
Beweis linearer Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:08 So 25.01.2015
Autor: Canibusm

Vielen Dank! Das Ausdrücken von a und b durch u und v  fehlte mir noch.

Bezug
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