Beweis mit Binomischen Lehrs. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 So 04.11.2012 | | Autor: | Arkathor |
| Aufgabe | Zeigen Sie mithilfe des Binomischen Lehrsatzes:
[mm] (1+sqrt(3))^n+(1-sqrt(3))^n [/mm] ist für alle [mm] n\in\IN [/mm] eine natürliche Zahl. |
Hallo ich muss obere Aufgabe machen und bin etwas stecken geblieben. Tipp und Fehlerkorrektur wären nett.
Vermutung:
Für alle [mm] n\in\IN [/mm] ist [mm] (1+sqrt(3))^n+(1-sqrt(3))^n [/mm] eine natürliche Zahl.
Induktionsanfang:
[mm] n_{0}=1
[/mm]
[mm] 1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=2\in\IN
[/mm]
Induktionsvoraussetzung:
[mm] (1+\sqrt{3})^n+(1-\sqrt{3})^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}(1+\sqrt{3})^{n-k}(1-\sqrt{3})^k
[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm] (1+\sqrt{3})^{n+1}+(1-\sqrt{3})^{n+1}=\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1\\ k}(1+\sqrt{3})^{n+1-k}(1-\sqrt{3})^k
[/mm]
Induktionsschluß:
[mm] (1+\sqrt{3})^{n+1}+(1-\sqrt{3})^{n+1}=\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1\\ k}(1+\sqrt{3})^{n+1-k}(1-\sqrt{3})^k=[\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}(1+\sqrt{3})^{n-k}(1-\sqrt{3})^k] [/mm] + [mm] \vektor{n+1\\n+1}(1+\sqrt{3})^{n+1-(n+1)}*(1+\sqrt{3})^{n+1}
[/mm]
Der erste Teil ist eine natürliche Zahl nach dem Voraussetzung. Jetzt muss ich beweisen, dass [mm] \vektor{n+1\\n+1}(1-\sqrt{3})^{n+1} \in \IN [/mm] ist:
[mm] \vektor{n+1\\n+1}(1-\sqrt{3})^{n+1}=(1-\sqrt{3})^{n+1} [/mm]
Und hier komme ich nicht weiter, denn ich weiss nicht wie ich die Wurzel raus kriege. Ich würde mich über Hilfe sehr erfreuen, ich hoffe ich habe nicht irgendwie falschen Lösungweg genommen.
gruß Arkathor
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Hallo,
wie kommst du zu deiner Induktionsvoraussetzung (weshalb wird in der Summe plötzlich multipliziert?). Und selbst wenn du das korrigierst, die IV sollte immer noch heißen
[mm] (1+\wurzel{3})^n+(1-\wurzel{3})^n\in\IN
[/mm]
In der Aufgabe ist ja von vollständiger Induktion nichts gesagt. Ich will jetzt nicht sagen, dass man das nicht irgendwie hinbekommen würde, aber ich denke, man benötigt die Vollständige Induktion hier nicht.
Schreibe beide Klammern mit Hilfe der Binomischen Formel als Summe und überlege dir, welche Summanden sich eliminieren und welche nicht. Daraus folgt die Behauptung unmittelbar.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 So 04.11.2012 | | Autor: | Arkathor |
Danke für den Hinweis, ich habe nämlich den Binomischen Lehrsatz etwas falsch aufgeschrieben und angewandt. Jetzt, aber wenn ich es so mache:
[mm] (1+\sqrt{3})^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\sqrt{3}^k
[/mm]
[mm] (1-\sqrt{3})^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\(-sqrt{3})^k
[/mm]
Wenn ich das, aber addiere und das Minus vor die Summe ziehe komme ich auf 0, was laut unserem Proff keine natürliche Zahl ist. Die [mm] 1^{n-k} [/mm] habe ich nicht hingeschrieben da es sowieso immer 1 ist. Kommt dieser Fehler dadurch weil ich für beide Summen gleiche Zahl (n) als Laufindex genommen habe?
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Hallo,
die zweite Summe muss korrekt so aussehen:
[mm](1-\sqrt{3})^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\
k}(-sqrt{3})^k[/mm]
Und jetzt kommen gleich zwei Preisfrage: für welche k ist der Summand negativ? Und was passiert bei den restlichen k mit der Quadratwurzel? 
Gruß, Diophant
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