Beweis mit Binomischen Satz < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Physiker |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Beweise mit Hilfe des Binomischen Satzes: [mm] (1+x)^n \ge \bruch{n^2}{4}*x^2 [/mm] für jede reelle Zahl [mm] x\ge0 [/mm] und jede natürliche Zahl [mm] n\ge2 [/mm] |
Wie genau löse ich das? Ich habe leider wegen Krankheit gefehlt und bin etwas überfordert.
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Hallo Physiker!
Kennst du die Bernoullische Ungleichung? Wenn ja dann hast du es schon fast geschafft! Du kannst deine Ungleichung [mm] (1+x)^{n} \ge \bruch{n²}{4} \*x²durch [/mm] Induktion beweisen!
Fang mit n=0 an und schau ob die Ungleichung für n=0 erfüllt bleibt und dann geh von n [mm] \to [/mm] n+1
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 So 11.11.2007 | | Autor: | Physiker |
Aber da sind doch zwei Variablen drin mit x [mm] \ge [/mm] 0 und n [mm] \le [/mm] 2 . Außerdem soll ich das ja mit dem binomischen Satz machen... An Bernoulli dachte ich auch schon, aber scheinbar ist es doch nicht so einfach... oder?
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Hallo,
> Aber da sind doch zwei Variablen drin mit x [mm]\ge[/mm] 0 und n
> [mm] \red{\ge} [/mm] 2 . Außerdem soll ich das ja mit dem binomischen Satz
> machen... An Bernoulli dachte ich auch schon, aber
> scheinbar ist es doch nicht so einfach... oder?
Hast du den binomischen Lehrsatz mal hingeschrieben?
Dann siehst du's fast direkt:
[mm] $(1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n\pmat{n\\k}\cdot{}x^k=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+....+nx^{n-1}+x^n$
[/mm]
In dieser Summe sind alle Summanden [mm] \ge [/mm] 0, also ist das
[mm] $\ge \frac{n(n-1)}{2}x^2=\frac{2(n(n-1))}{4}x^2=...$
[/mm]
Rechne mal den Zähler aus, klammere [mm] n^2 [/mm] aus und schätze den Rest ab.
Bedenke dabei, dass [mm] n\ge [/mm] 2 ist
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 So 11.11.2007 | | Autor: | Physiker |
Bist ein Schatzipus... Hatte bis jetzt immer nur die Summe hingeschrieben. Danke, das wars was ich übersehen hab. ^^
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