Beweis mit Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweise mit Induktion:
[mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{2}{k} \ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] |
Ich habe schon einige Zeit über dem Induktionsschritt gegrübelt, aber mein Ergebnis ist nicht ganz das, was ich haben will. Vielleicht kann mir jemand helfen und mich ggf. auf meinen Fehler aufmerksam machen:
Ich will ja zeigen: [mm] \summe_{k=n+2}^{2(n+1)} \bruch{2}{k} \ge \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(2k+1)}
[/mm]
Ich habe das ganze wie folgt versucht:
[mm] \summe_{k=n+2}^{2(n+1)} \bruch{2}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=n+2}^{2n+2} \bruch{2}{k}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{2}{k} [/mm] + [mm] \bruch{2}{2n+1} [/mm] + [mm] \bruch{2}{2n+2} [/mm] - [mm] \bruch{2}{n+1}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{2}{k} [/mm] + [mm] \bruch{2}{2n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{2}{n+1}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{2}{k} [/mm] + [mm] \bruch{2}{2n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
[mm] \ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{2}{2n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{2n+1-2n-1}{(2n+1)(n+1)}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(2n+1)}
[/mm]
Das ist ja jetzt fast was ich raushaben will, aber leider nur fast ! Richtig wäre ja:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(2n+3)}
[/mm]
Kann mir jemand aus der Klemme helfen?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Mo 09.02.2009 | | Autor: | glie |
> Beweise mit Induktion:
>
> [mm]\summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{2}{k} \ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)}[/mm]
>
> Ich habe schon einige Zeit über dem Induktionsschritt
> gegrübelt, aber mein Ergebnis ist nicht ganz das, was ich
> haben will. Vielleicht kann mir jemand helfen und mich ggf.
> auf meinen Fehler aufmerksam machen:
>
> Ich will ja zeigen: [mm]\summe_{k=n+2}^{2(n+1)} \bruch{2}{k} \ge \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(2k+1)}[/mm]
>
> Ich habe das ganze wie folgt versucht:
>
> [mm]\summe_{k=n+2}^{2(n+1)} \bruch{2}{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=n+2}^{2n+2} \bruch{2}{k}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{2}{k}[/mm] + [mm]\bruch{2}{2n+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{2n+2}[/mm] - [mm]\bruch{2}{n+1}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{2}{k}[/mm] + [mm]\bruch{2}{2n+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] - [mm]\bruch{2}{n+1}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{2}{k}[/mm] + [mm]\bruch{2}{2n+1}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> [mm]\ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)}[/mm] + [mm]\bruch{2}{2n+1}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{2n+1-2n-1}{(2n+1)(n+1)}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{(n+1)(2n+1)}[/mm]
>
> Das ist ja jetzt fast was ich raushaben will, aber leider
> nur fast ! Richtig wäre ja:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(2k+1)}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{(n+1)(2n+3)}[/mm]
>
> Kann mir jemand aus der Klemme helfen?
Hallo,
es gilt für alle n [mm] \in \IN [/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)}+ \bruch{1}{(n+1)(2n+1)}\ge \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(2k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(2n+3)}
[/mm]
Der Nenner wird größer, daher wird der Wert des Bruches kleiner. Mit dieser Ungleichungskette ists dann bewiesen.
Gruß Glie
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:01 Di 10.02.2009 | | Autor: | fagottator |
Danke für deine schnelle Hilfe. Hätte man ja auch selbst drauf kommen können...
|
|
|
|
