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| Aufgabe | Seien [mm] A \ , B [/mm] beschränkte Mengen nichtnegativer Zahlen. Wir definieren [mm] C = \left\{ a * b\ , a \in\ A, b \in\ B \right\} [/mm].
Beweisen sie:
[mm] inf (C) = inf (A) * inf (B) [/mm].
Gilt diese Gleichung auch, wenn [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] beschränkte Mengen beliebiger reeller Zahlen sind? |
</task>
Hallo zusammen,
ich bräuchte mal wieder etwas Hilfe zu der oben genannten Aufgabe. Ich habe schon einen groben Lösungsweg erarbeitet, bin mir aber garnicht sicher, ob dieser stimmt. Hier also mal, was ich mir bisher dachte:
[mm] c = a * b \ge inf (A) * inf (B) \Rightarrow inf (C) \ge inf (A) * inf (B)[/mm]
Das folgt ja aus der Definition der Mengen und des Infimums selbst. Im Folgenden nehme ich an, es gelte [mm] inf (C) > inf (A) * inf (B) [/mm]
Würde dies gelten, so könnte ich schreiben [mm] inf (C) = x * y [/mm] mit [mm] x > inf (A) , y > inf (B) [/mm].
Es gäbe also [mm] a < x [/mm] und [mm] b < y [/mm], also ebenfalls [mm] c = a * b < x * y = inf (C) [/mm] , also [mm] c = a * b < inf (C) [/mm], was dann ja ein Widerspruch wäre.
Könnte dazu mal jemand was sagen? Und zu der zweiten Frage der Aufgabe, ich denke, dies gilt nur für nichtnegative Zahlen. So ganz genau begründen kann ich das allerdings auch nicht, also auch hier wäre ich für ein paar Denkanstöße dankbar.
Vielen Dank schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Lauschgift |
Sorry, die Mitteilung war ein Fehler. Die Frage bleibt bestehen!
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Hallo,
> Seien [mm]A \ , B[/mm] beschränkte Mengen nichtnegativer Zahlen.
> Wir definieren [mm]C = \left\{ a * b\ , a \in\ A, b \in\ B \right\} [/mm].
> Beweisen sie:
>
> [mm]inf%20(C)%20%3D%20inf%20(A)%20*%20inf%20(B)%20[/mm].
>
> Gilt diese Gleichung auch, wenn [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] beschränkte Mengen
> beliebiger reeller Zahlen sind?
> Hier also mal, was ich mir bisher dachte:
>
> [mm]c = a * b \ge inf (A) * inf (B) \Rightarrow inf (C) \ge inf (A) * inf (B)[/mm]
>
> Das folgt ja aus der Definition der Mengen und des Infimums
> selbst.
Das ist alles richtig.
> Im Folgenden nehme ich an, es gelte [mm]inf (C) > inf (A) * inf (B)[/mm]
>
> Würde dies gelten, so könnte ich schreiben [mm]inf (C) = x * y[/mm]
> mit [mm]x%20%3E%20inf%20(A)%20%2C%20y%20%3E%20inf%20(B)%20[/mm].
Nein, das gilt nicht ohne Weiteres.
Das Infimum von C muss ja nicht mehr in C liegen. Daher hast du auch nicht notwendig eine Darstellung $inf(C) =x*y$.
Hattet ihr schon Folgen / Konvergenz?
Es gibt ja Folgen [mm] $x_n \in [/mm] A$, [mm] $y_n \in [/mm] B$ mit [mm] $x_n \to \inf(A)$ [/mm] und [mm] $y_n \to \inf(B)$.
[/mm]
Damit hättest du: [mm] $x_n*y_n \in [/mm] C$, und somit
[mm] $\inf(C) \le x_n*y_n \to \inf(A)*\inf(B)$
[/mm]
also [mm] $\inf(C) \le \inf(A)*\inf(C)$.
[/mm]
Falls ihr noch keine Folgen hattet, müsstest du die "Idee" des Beweises mit Hilfe von eurer Def. vom Infimum umsetzen.
> Und zu der zweiten Frage
> der Aufgabe, ich denke, dies gilt nur für nichtnegative
> Zahlen. So ganz genau begründen kann ich das allerdings
> auch nicht, also auch hier wäre ich für ein paar
> Denkanstöße dankbar.
Du brauchst hier ein Gegenbeispiel.
Folgende intuitive Idee: Wenn A kleine negative Zahlen enthält (d.h. z.B. [mm] $\ge [/mm] -1$) und B sehr kleine und sehr große positive Zahlen, dann ist
inf(A) = negative kleine Zahl
inf(B) = sehr kleine positive Zahl
und somit inf(A) * inf(B) = kleine negative Zahl
aber C enthält auch große negative Zahlen ( = sehr große positive*kleine negative) und somit ist
inf(C) = große negative Zahl.
Kannst du diese Intuition in ein konkretes Gegenbeispiel umwandeln, d.h. konkrete Mengen A,B,C angeben?
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo und vielen Dank für deine Antwort,
Nein, wir hatten bisher weder Folgen noch Konvergenz. Das wird allerdings wahrscheinlich recht zeitnah eingeführt werden.
Wenn das auf diesem Wege nicht geht, dann versuche ich, diese Gleichung mit dem [mm] \varepsilon [/mm] zu beweisen.
Ich weiß:
[mm] a > inf A + \varepsilon [/mm]
[mm] b > inf B + \varepsilon [/mm]
Also auch:
[mm] a * b > ( inf A + \varepsilon ) * ( inf B + \varepsilon ) [/mm]
Mein Problem ist jetzt, wie wähle ich das [mm] \varepsilon [/mm] am besten, sodass am Ende [mm] c > inf A * inf B + \varepsilon [/mm] dort steht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 So 21.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo> Hallo und vielen Dank für deine Antwort,
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> Nein, wir hatten bisher weder Folgen noch Konvergenz. Das
> wird allerdings wahrscheinlich recht zeitnah eingeführt
> werden.
>
> Wenn das auf diesem Wege nicht geht, dann versuche ich,
> diese Gleichung mit dem [mm]\varepsilon[/mm] zu beweisen.
>
> Ich weiß:
>
> [mm]a > inf A + \varepsilon[/mm]
> [mm]b%252520%25253E%252520inf%252520B%252520%25252B%252520%252520%25255Cvarepsilon[/mm]
>
> Also auch:
>
> [mm]a * b > ( inf A + \varepsilon ) * ( inf B + \varepsilon )[/mm]
>
> Mein Problem ist jetzt, wie wähle ich das [mm]\varepsilon[/mm] am
> besten, sodass am Ende [mm]c > inf A * inf B + \varepsilon[/mm] dort
> steht?
Fange mal wie folgt an:
[mm] (\inf(A)+\varepsilon)\cdot(\inf(B)+\varepsilon) [/mm]
[mm] =\inf(A)\cdot\inf(B)+\varepsilon\cdot(\inf(A)+\inf(B))+\varepsilon^{2}
[/mm]
Marius
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Dieser Ansatz führt mich ja dann einen Schritt weiter zu
[mm] inf A * inf B + \varepsilon * ( inf A * inf B + \varepsilon ) [/mm]
Aber wie komme ich von dort aus nun weiter? Mein Ziel muss doch sein,
[mm] c > inf A * inf B + \varepsilon [/mm] zu erreichen, oder liege ich da falsch?
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Hallo,
> Dieser Ansatz führt mich ja dann einen Schritt weiter zu
> [mm]inf A * inf B + \varepsilon * ( inf A * inf B + \varepsilon )[/mm]
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> Aber wie komme ich von dort aus nun weiter? Mein Ziel muss
> doch sein,
> [mm]c > inf A * inf B + \varepsilon[/mm] zu erreichen, oder liege
> ich da falsch?
Du hängst daran fest, dass du denkst, es muss da genau dasselbe [mm] $\varepsilon$ [/mm] stehen. Das ist nicht der Fall.
Machen wir den Beweis nochmal ordentlich:
Nach Def. des Infimums gibt es zu beliebigem [mm] $\varepsilon_a [/mm] > 0$ ein $a [mm] \in [/mm] A$ mit $a [mm] \le \inf(A) [/mm] + [mm] \varepsilon_a$ [/mm] (Mach dir das klar...) (*)
Genauso: Zu beliebigem [mm] $\varepsilon_b [/mm] > 0$ gibt es $b [mm] \in [/mm] B$ mit $b [mm] \le \inf(B) [/mm] + [mm] \varepsilon_b$. [/mm] (*)
Angenommen, es würde gelten: [mm] $\inf(C) [/mm] > [mm] \inf(A)*\inf(B)$. [/mm] Dann gäbe es [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ mit
[mm] $\inf(C) [/mm] = [mm] \inf(A)*\inf(B) [/mm] + [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Wählen wir nun jedoch [mm] $\varepsilon_a, \varepsilon_b$ [/mm] geeignet klein, sodass
[mm] $\varepsilon_a*\inf(B) [/mm] + [mm] \varepsilon_b*\inf(A) [/mm] + [mm] \varepsilon_a*\varepsilon_b [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] (**)
gilt und nehmen die a,b aus (*), dann gilt:
$c = a*b [mm] \le (\inf(A)+\varepsilon_a)*(\inf(B)+ \varepsilon_b) [/mm] = [mm] \inf(A)*\inf(B) [/mm] + [mm] \Big[\varepsilon_a*\inf(B) [/mm] + [mm] \varepsilon_b*\inf(A) [/mm] + [mm] \varepsilon_a*\varepsilon_b\Big] [/mm] < [mm] \inf(A)*\inf(B) [/mm] + [mm] \varepsilon$,
[/mm]
und damit ein Widerspruch zu
[mm] $\inf(C) [/mm] = [mm] \inf(A)*\inf(B) [/mm] + [mm] \varepsilon$.
[/mm]
(Weil wir ein kleineres Element aus c gefunden haben).
Viele Grüße,
Stefan
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 21.04.2013 | | Autor: | Lauschgift |
Hallo Stefan,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Tatsächlich war ich zu sehr darauf fixiert, dieses [mm] \varepsilon [/mm] zu bekommen.
So macht alles Sinn, vielen Dank für die Hilfe!
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