Beweis mit Integralrechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie (mit Hilfe der Integralrechnung), dass für alle n [mm] \ge [/mm] 2
ln(n + 1) [mm] \le \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} \le [/mm] ln(n) + 1
gilt. |
Hallo,
ich habe leider keine idee für die obige aufgabe,
ich kann zwar Integrale ausrechnen, habe aber noch
nie ein beweis über die Integralrechnung durchgeführt.
Bin dankbar für jeden Hinweis.
Nathenatiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Fr 03.02.2006 | | Autor: | DerHein |
Tipp: [mm] $\ln' [/mm] =1/x$. Damit [mm] $\integral_{1}^{n} [/mm] 1/x [mm] \, [/mm] dx = [mm] \ln(n)$.
[/mm]
Jetzt musst du nurnoch rausfinden was [mm] $\sum_{k=1}^n \, [/mm] 1/k $ mit [mm] $\integral_{1}^{n} [/mm] 1/x [mm] \, [/mm] dx$ zu tun hat.
mfg Heinrich
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Hallo,
danke für den hinweis, bin jetzt darauf gekommen,
muss aber zwischendrin zeigen, dass
[mm] \integral_{1}^{ \infty} {\bruch{1}{x} dx} [/mm] konvergiert.
aber wie mache ich das?
Bin für jede Hilfe dankbar.
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo nathenatiker!
Das wird aber ein kompliziertes Unterfangen, da dieses genannte Integral eindeutig divergiert.
Gruß
Loddar
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hallo,
stimmt, hätte mir eigentlich auch auffallen müssen...
jedendfalls habe ich gezeigt:
Nach dem Integralkriterium folgt:
$ [mm] a_{n}= \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{1}^{n+1}{ \bruch{1}{x} dx} [/mm] $
und für den Grenzwert gilt daher
0 $ [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \le [/mm] $ f(1)
0 $ [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] $ - $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ ln(x) $ [mm] |_{1}^{n+1} [/mm] $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ ln(n+1) $ [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] $
das würde ja schon mal der Aufgabenstellumg fast entsprechen,
was mache ich aber nun mit dem limes???
lässt sich der irgendwie beseitigen???
MFG
Nathenatiker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Di 07.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Nathenatiker
>> jedendfalls habe ich gezeigt:
>
> Nach dem Integralkriterium folgt:
>
> [mm]a_{n}= \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}[/mm] -
> [mm]\integral_{1}^{n+1}{ \bruch{1}{x} dx}[/mm]
Was ist das "Integralkriterium" und was ist an?
> und für den Grenzwert gilt daher
die Grenzwerte existieren beide nicht, damit kann man mit ihnen nichts beweisen. Und was ist f(1)
> 0 [mm]\le \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \le[/mm] f(1)
> 0 [mm]\le \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}[/mm]
> - [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ln(x) [mm]|_{1}^{n+1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ln(n+1) [mm]\le \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}[/mm]
>
> das würde ja schon mal der Aufgabenstellumg fast
> entsprechen,
> was mache ich aber nun mit dem limes???
> lässt sich der irgendwie beseitigen???
Den hättest du nie einführen dürfen!
Denk mal an Integrale und Untersummen und Obersummen! die Schrittweite 1 ist auch gut zu betrachten!
Gruss leduart
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Hallo,
ok, ich meinte das Integralkriterium für reihen, dass wie folgt leitet:
(zumindest nach Königsberger : Analysis 1):
Ist f eine monoton fallendene Folge, dann konvergiert die folge der differenz
[mm] a_{n}= \summe_{k=1}^{n} [/mm] f(k) - [mm] \integral_{1}^{n+1}{ f(x) dx} [/mm]
und dass heisst für meinen Fall:
[mm] a_{n}= \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{n+1}{ \bruch{1}{x} dx} [/mm]
und für den Grenzwert gilt(auch nach definition):
0 [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \le [/mm] f(1)
wobei ich erstmal nur 0 [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] betrachte:
0 [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ln(x) [mm] |_{1}^{n+1} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ln(n+1) [mm] \le \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} [/mm]
ist es jetzt nachvollziehbar?
sollte doch richtig sein, wenn ich mich nicht schwer irre,
jetzt wieder die gleiche Frage, was mache ich mit dem Limes?
weiss nicht wie formal auf die in der Aufgabenstellung geforderte Lösung kommen soll.
MFG
Nathenatiker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 Fr 10.02.2006 | | Autor: | matux |
Hallo nathenatiker!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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